iiher die Verghichung der Differenz - Coefficienten etc. 35 



Die vorstehenden Zahlen — , — , — , — , — heifsen ron ihrem 



6 30 42 50 öo 



Erfinder, Jacob Bernoulli, die bernoiüiischen Zahlen, und sollen hier 



durch B,; B^; B3 ; ... vorgestellt -werden, so dafs B, = — die erste, 



6 



B2 = — die zweite, B3 = — die dritte, und überhaupt B„ die r^'^ bernoiU- 

 50 42 



Üfche Zahl bezeichnet. Hiernach wird: 



/n' = — +- + - B.r.n-^-.iB^rjn'-H ^Bjr.n'^-s- i B. r,n'-' + . . . + consL 

 r+i22 4 o 8 



5- 

 Bedeutet r eine ponljve ganze Zahl, so wird für- n=i, /n'^=y^i'=i 

 daher nach dem zuletzt gefundenen Au-druck: 



I £ 1 1 1 1 1 1 



1 = + -+ -r.B. - - rjB, + -r^B - -r^B^i — r Bj r„ B^ + ..., 



r + i 2 2 4 () 8 io 1 2 



oder mit r -|- r multiplizirt 



^- = 0+02B,— (r + i),B2+(r+i)5B3— (r + i)8B^ + ...+(r4i)2„B„±... 



vo da< obere Zeichen fiir ein grades, das untere für ein ungrades n gilt. 

 INIan setze r=::2xi, so wird 



-^ = (=n+i\B.-(.n+i).B,+ (2n+i)5B3 — ..- + C2n + iXnB.,±f2n+i\,,,..B„,. + .., 



Nun ist nach den Eigenschaften der Binomial-Coeffizienten: 



(2n+iX„_, = (an-f-i),-, (;n + i),„ = (in+.i),; (an + 1),,,.,, = o und jeder 



folgende Coefficient = o, daher mufs die vorstehende Reihe abbrechen 



und es wird; 



an - I 



— -^ — =(in+i).n_.B, -(2n+i>,„_3B,+ (an+i^.n.jBj-... ±(2n|i)5B„_, + (2n+i)B„ 



oder 



o=(2n+i)B„-(2n+i^3B,._, + (:n+i)5B„_,-... + (2n+iX„_. B, + (2n+IX„_.B, + — 

 2 

 Durchgängig mit (an-|-i)[2n] dividirt, giebt 



Bu B„_, B„_, B, _ Bj QU — I ' 



■ + r~rr T — • • • _ r TT", + r T7-. "^ —r :: oder 



[-"] [5][2i^-2] [5][2n-4.] [2n-5][.,] [;n.i][2] " 2[2n+i] 



Bu B"- B"- ^ B, _ B, II 



; + r TTI + F ?+- 



[2n] [3][2n-2] [5][an.4j ~ [2n-3][4]^[2n-i][2]-[2n|i] -2 [^n] 



Mathcm. Klasse lälö — 1827. £ 



