40 ^jbelwein 



Vei'gleicht man diesen Ausdi-uck mit dem §, 5. zuletzt gefundenen, 

 so erhält uian: 



cot X = -— X -— x3 --J x« — .. — - — ^' X'"-' — . . . 



X [^0 [+] [6J [211] 



Es ist aber tgtx = cotx — 2 cot 2X, daher: 



2'"(2"'-l), 

 B3XH..,+ -— r- '' 



[2n] 



2"'(a'"— 1) 



Man setze B„ = A„, so wird 



[2n] 



Igt X = AjX + AjX^ -)- AjX^ -|- A4X' + ' Ferner sey 



tgtx'= «I x^+^z^* + «a^'^ + «4X' + ..... so fmdet man 



«6, = A.Ajj 



«2 = 2A1A2; 



«3 = 2A1A3 + A2A1; 



«4= 2AJA4 + 2A2A3; 



dtgtx 



u, s. w. Nun ist -— = 1 -{- tgt x* , .nlso 



dx 



— ^— = 1 + «i^* + «2X'* + Ä^x" + «4^^ + ...., aber auch 

 dx 



iS5i^ = Ai + 3A2x24-5A3x4 + 7A4x'' + 9A3x8+ daher erhält man 



dx 



aus der Vergleichung der Coefficienten A,=: j; «j=3A2J «j = 5A3; aj=7A^-,... 

 folglich Ai = 1; 



3 "2 ^^ -'^i -^i > 



5 A3 = 2A,Aji 



7A4 = 2A,A3 + AjAj-, 



gAj = 2A,A4 + 2A2A3; 



iiAa = 2A1A5 + 2AJA4 + A3A3 



u. s. w. 



JDiese Coefücieniengleichungen für die Reihe, -welche der Tangente eines 



Bogens entspricht, sind ganz übereinstinnuend mit den §. G. gefundenen 



Gleichungen für die Coefficienten GijGjjG-; ... daher mufs aiichA„^G„ 



2"' Ca"' — i) 



seyn. Nun war G„ = ± -"'"' E;„_. und A^ = ■—- B,., folglich wird 



[2 n] 



die n'« bernoullische Zahl oder 



