58 Trolles von den IVerLkcn der Produkte 



toren gegeben ist, und die Produkte aller Versetzungen ihrer Faktoren mit 

 aufgenommen ^Verden. Die Auflösung dieses Problem?, an sich nicht un- 

 merkwürdig, gäbe erst die vollständige und am nieislen direkte Entwicke- 

 lung der Funktionen solcher Polynomien oder Reihen, deren Coeffizicnten 

 numerisch als Funktionen des Potenz^exponenten der veränderlichen Gröfse, 

 bei welcher sie stehen, bestimmt sind. Beim ersten Anblick könnte man 

 glauben, es lasse sich nicht leicht analytisch behandeln, und dies hat viel- 

 leicht von der Betrachtung desselben abgehalten, allein im Allgemeinen fin- 

 det es sich nicht also, mir in den besondern Fällen treten die gewöhnlichen 

 Schwierigkeiten der Snmmalionen ein. 



Es sey P das Aggregat aller Produkte irgend einer Anzahl von Fak- 

 toren aus den Gröfsen a, , a^ , 83 . . .; Q sey ein ähnliches Aggregat, aber 

 für einen Faktor mehr. Die Summenzahl der Zeigezahlen der Faktoren für 

 P und Q sollen die angehängte Buchstaben und Zahlen ausdrücken. In 

 P,, so wie in P,,_, sind also bei unverändert festgesetzter Faktorenanzahl 

 /LI, fi. — i die Summe ihrer Zeigezahlen, und jene Gröfsen P^, P^,—, als einer- 

 lei Funktionen von /k und fi — < zu betrachten, welche zwar von der Zahl 

 der Faktoren mit bestimmt wird, allein sie ist für jetzt als eine beständige 

 darin verwickelt. Nun ist klar, dafs für irgend ein Glied im Aggregat von 

 Q„, in welchem a. der neu zu P kommende Faktor seyn soll, a» nur au 

 P^,_, treten kann, um einen Theil der im Aggregate von Q„ vorkommenden 

 Produkte zu bilden. Es kann aber a, eine jede von den Gröfsen aj, a^ ... 

 seyn, bei welcher P^ — , bestehen kann. Es ist also, wenn man nach der 

 Reihe die Gröfsen a,, a, u. s. w. bis zum unbestimmten a^.^ nimmt 



(Q^)^ = a,P,,_i + a, P,._, + a3P,._j + . . . -f a,_,P„_,^. 



Kahme man atich die Funktion a, noch als neuen Faktor auf, so käme zum 

 vorigen Aggregat noch das Glied a^P„_x, tmd man müfste dasselbe dann 



D 



iggiegrti. iiui-ii ua& vjjicLi a» ^ /» 



mit (Q,,)x + . bezeichnen, so dafs also die DifFerena der Reihe, welche 

 (Q^)» ausdrückt, d. i. 



A.(Q^),= a,P^_, . 

 Mithin hat man 



(Q^)x= r.a^P^_x 

 Dies Integral ist $0 zu nehmen, dafs «s für x=i Null wird, und 

 ■jn dann Q^ zu haben, setzt man für x die gröfste Zahl, fUr welche 



