76 Tr alles analytische Betrachtung 



§. c. 

 Darch die Multiplikation der Faktoren müssen diese Produkte ia die 

 Formen 



Q = w(x— Ax3 + Bx« — Cx'' + 



P= 1— A,2>x2+Bi£'»X'» — C,2*x« + .... 



übergehen. Allein die Schwierigkeit ist, die Werthe der Coeffizienten zu 

 finden, welche die Summen unendlicher Reihen sind, deren Glieder aus reci- 

 proken Ouadr.itzahlen und den Produkten derselben zu zwei, drei, u. s. f. 

 bestehen. Dafs diese Summen alle bestimmte endliche Werthe haben , ist 

 a\is der Natur des Produktes klar, welches für jeden Werth von x nicht 

 nur endlich, sondern auch kleiner als + \ seyn mufs; mithin selbst den 

 in unendlichen Reihen nach x entwickelten Formen der Produkte die eigen- 

 thümliche Beschaffenheit zukommen mufs, für jeden Werth von x so grofs 

 man will , konvergent zu werden. Es läfst sich aber jener Schwii-rigkeit 

 ausweichen, indem man allgemein Q und P, wenn in denselben x + z statt 

 X gesetzt wird, ausdrücken kann durch 



z» 

 P . = p + P' . z + p". \. .... 



und es ist dann nur darum zu thun, die Differenziale von Q imd P , die 



'x \ 



Q' , Q" etc. , P' , P" etc. bezeichnen, zu finden, welche wegen der besondern 

 Natur dieser Funktion sich unmittelbar darbieten. Denn da Q , P Pro- 



*-x » X 



dukte blos reeller Faktoren, so können, wie aus der Theorie der Gleichungen 

 bekannt ist, auch ihre Differenziale nur solche Produkte seyn. Dafs hier 

 die Zahl der Faktoren unendlich, stöhrt den Satz nicht. Denn es mufs 

 das Differenzial gleichmäfsig in seine Faktoren mit der Zahl der Fakto» 

 ren in Q fortschreiten und stets so viele mehr erhalten, als mehrere 

 in Q in die Differenziation aufgenommen sind, und so nähern sich 

 beide mit einander desto mehr ihrem wahren Werthe, je mehr Faktoren ia 

 Betrachtung kommen. Die Faktoren in Q sind bestimmte, die des Differen- 

 zials aber veränderlich nach der in der Ordnung betrachteten Anzahl jener. 

 Allein es ist hinläiiglich, dieselben für den Fall zu kennen, wo alle Faktoren 



