ebener und sphärischer Dreiecke unddereji Analogie. io5 



Achtet man auf die Foim des Ausdrucks , so sieht man, dafs dereine 

 Tlieil das Produ'ct der Quadiauvurzeln aui den Ergänzungen der Quadrate 

 der Faktoren des andern Theils zur Einheit sind. Daher folgt, dafs, sowie 



UV + ' j — u* 1^1 - V* < 1, auch seyn müsse 



ul^r^T* ± v^ i — u* < 1. 

 Nimmt man beide Ausdrücke, den einen aber mit dem entgegengesetzten 

 Vtjbindungszeichen des andern, qiiadrirt und addirt sie dann, so müssen 

 sich die doppelten Produkte beider Theile aufheben, und juan hat blos; 



u'v^ +(,_u») (.— v^) 4- u* (i — v') + V' (i — u*) 

 ■welches der Einheit gleich ist. 



Jone Ausdrücke können aber der Einheit positiv und negativ so nahe 

 kommen, als man will, selbst sie erreichen, aber nicht überschreiten. 

 Es folgt leicht, dafs 



IXV + Vj _ 1,2 Vi — V» < 1 



■wenn u,v, >\iv, indem die Gröfse 



u^v, + Vr_ u» ^7117* < 1 

 um u, V, — UV gröfser ist als jene. 



Daraus folgt, dafs die Summe der Reihe: 



u V + V(li:u»)(i— v;-; + V(i_„3)(,_^2) + V(i— «:,)(! -v,t) + . . . 



so weit man -will fortgesetzt, nie giöfber als i werden kann, woferne stets 

 die Produkte u,v,, u„v„, u„v„... u„Vn gröfser oder lücht kleiner sind, als 

 die Summe aller vorhergehenden GliedexV 



Wenn daher in einer ins unendliche fortschreitenden Reihe von irgend 

 einem Gliede an die folgenden so fortschreiten, dafs wenn man sie alle durch 

 irgend eine Zahl dividirt, welche das Glied, bei welchem man anfangt, klei« 

 ner macht als i, dieselben jener Bedingung entsprechen, so hat die Summe 

 der unendlichen Reihe einen endlichen Werih. 



Es ist überflüfsig, die oben gefundenen Ausdrücke in ii und v, 



um alle mögliche Werthe zu eilif\llen, deren sie fähig sind, bei bestimmten 



Zahlen für u und v, mit dem Ooppelzeichen + zu verbinden, da nichts 



hindert, ungeachtet u und v gegeben, die Radikalgröfsen jede für sich nach 



Matlicm. Klasse 1816 — 1817. O 



