ebener und spJiärlscJier Dreicclc und deren .Analogie, t tS 



welches jedoch auch ans der ersten, ■wenn man i — sin'A statt cos* A setzt 

 hcrv'orgeht, wodurch erhalten wird, 



sin ' h 5in*c sin* A = — cos^a — cos- b — cos' c -f- acosa cosh cosc -\- i, 

 und da jede der drei Gleicluingen im zweiten Gliede symmetrisch aus a, b, c 

 zuiamnienge.'.etzt, nur das.>-ell)e Resullat geben kann, so ist 



ginl) sine sin A = sin b sin a sin C = sin a sine sin B, , . . (B) 



I 



Sel7.t man in der ersten der Gleichungen (A), statt cos b dessen Werth 

 aus der zweiten; fiir das in jener vorkommende sin b aber dessen Werth 

 sin a sin B: sin A aus der Gleichung (^B), so findet sich: 



cosA 



abo' 



cosa = cosa cos* c -}- sina sine cosc cosB -\- sina sine sinB —, , 



sinA 



^ ■ • ^ CdsA 



sm c cos a — cos c sin a cos E = sin a sin B , — , 



sin A 



oder / • • • (C) 



, . . . . cos a 



sin B cos A -j- cos B -in A cos c := sin A sin c 



sin a 



Beide Gltichungen sind im Grunde dieselbe, und können in einer einzi'o-en 

 Form, welrhe aber nicht ^o wie diese annlogisch den ersten (A), zusammen- 

 gefafst werden. Sie geben nach den verschiedenen möglichen Verbindun'^en 

 der GrölVen a, b, c, 6 Gleichungen, welche hier aufzustellen überlliifsig. 



Die eini- der Gleichungen (C) aber geht in die Form der andern über 

 wenn man die Cusinu.-se negativ nimmt und die grofsen und kleinen Buch- 

 staben verwech>elt. Man darf also in allen Gleichungen w — A, TT — B, tt ~ C 

 statt a, b, c setzen, wenn man zugleich ir~a, w— b, w — c statt A, B, C 

 nimmt. Es sind also dieselben Beziehungen, d. h. einerlei Formeln gelten, 

 »wischen 



"Tt — A, « — B, w — C und it — a, sr — b,ir — c, 

 wie zwischen a, b, c und A, B, C. 



Gebraucht man diese Verwechselung für die Gleichungen unter (A), 

 so wird die erste 



cos A = — cos B cos C -j- sin B sin C cos a .... (D) 



Durch Substitution gelangt man zu dieser Form, wenn man bemerkt, 



Pa 



