ebener und spliürischer Dreiecke und deren Analogie. 1 1 7 



beschiänkcn. Nur müssen, da die Gleichung (C) sich in zweifacher Gestalt 

 z«gt, die Folgerungen gezogen werden, welche die Vergleichung veranlafst, 

 die, wie ich glaube, unbemerkt geblieben, da noch die vierte Formel (D) 

 erst durcli Elimination gesucht und dann aus deren Analogie mit der ersten 

 das Aelinliche geschlossen wvirde. 



So wie eben die Gleichung (C) ausgedrückt ist, enthält sie freilich 

 fünf Gröfsen, also eine mehr als erfordeilich. Allein der zweite Theil der- 

 selben enthält doch nur drei, und der erste läfst sich unmittelbar durch 

 die Nebengleichung sin b . sinA = sin a . sinB, welche sin a durch drei imter 

 den übrigen vieren ausdrückt, %'on der fünften befreien, wo sie dann in der 

 zuerst gefundenen Gestalt erscheint, und die Bestimmung der Gröfse B oder b 

 nach Art der Gleichungen vom ersten Grade giebt, durch die gewöhnlich 

 angeführte, 



cotB . SinA^ cotb . sin c — cos c . cos A 

 in welcher aber, man mag sie stellen wie man will, keine Symmetrie sich 

 offenbart, die hingegen in der hier aufgenommenen Form nicht übersehen 

 werden kann. Ueberdem liegt vor Augen, dafs, so wie aus der in b und c 

 symmetrischen Formel für cos a durch die Verwechselung der Sinus und Co- 

 sinus von c gegen einander, wenn die von b bleiben, cos B sin a ent- 

 steht, eben so cos C . sin a folge, wenn Sinus und Cosinus von c bleiben und 

 die von b wechseln; dafs daher diese Form sechsmal vorkömmt, wie es die 

 analoge Beziehung gleichnamiger Gröfsen erfordert. 



Die Formeln für die Fälle, wo eine oder mehrere der Gröfsen 



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 gleich — , verdienen keine besondere Aufmerksamkeit, da sie aus den allge- 

 meinen von selbst folgen, andere an sich merkwürdige werden aus den ge- 

 gebenen blos vermittelst der Eigenschaften, welche den Sinusfunktionen über- 

 haupt zukommen, abgeleitet, und können daher übergangen werden. Nur 

 gehören hierher die Funktionen von sin A + B -{- C, deren Ableitung auch, -wie 

 mir vorgekommen, im Umwege durch die Neperschen Analogien geführt 

 wird , welches doch besser gradezu geschehen kann. 



/A B C N - 



Man entwickele cos ( — + — + ~ ) wirklich in die Produkte der ein- 



zelnen Sinusse und Cosinusse, um für dieselben die Werthe jener Sinusse in a,b, c 

 ausgedrückt zu substituiren. Die Fundamentalformeln (A) geben sie, wenn Utas 



