ebener und sphärischer DreiecJic und deren Analogie. 123 



Ohncraclitet der beiden bekannten ausgezeichneten Abhandlungen von 

 linier und La Orange, wt-lche diesen Gegenstand betreffen, habe ich doch 

 gpglatilit, die hier gegebene Ableitung der Formeln mit aufnehmen zu dür- 

 fen, da doch in neuern Schriften, sonst sehr -wohl mit diesen Formeln be- 

 kannter Mathematiker, von den Neperschen Analogien behauptet wird, die 

 anal) tischen BeAveise derselben seien müh-am und Nichts leile in den Trans- 

 formationen , •welche mit der ursprüngliclien Gleichung vorgenommen wer« 

 den müssen. 



Es ist in dem bisherigen angennmmen ■worden, die Gröf-en a, b, c 



seien kleiner als w, allein nichts hindert, sich vorzustellen, der Divisor, von 



Avelchem im Anfange dieses Artikels die Rede gewesen, sey so gevrahlt, dafs 



TT ... . 



jene Gröfsen kleiner als — , also der Sinus einer jeden kleiner als i, und 



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die C(5sinu,=5e derselben positiv seien. Für die eben durchgeführte Beliand- 

 lung ist dieser Umstand gleicligü.tig, aber durch diese Bestimmung bleibt 

 nicht nur die ursprüngiche Bedingung zwischen den Gröfsen selbst, son- 

 dern man hat in diesem Falle auch sin a -j~ sin b > sine, und so mit den 

 übrigen. 



Denn man liat 



sin a -^- sin b — sin (a 4-b) ^ sin a (1 — cosb) •\- sin b (1 — cosa) 



Da nun in Folge der Voraussetzung alle Gröfsen im zweiten Theile positiv, 

 so ist es derselbe im Ganzen, also ist 



sin a •\- sin b > sin (a ■\- b) 



•K 



Ist nun a + b < — , so folgt von selbst, da c <a -}- b, dafs sine •< 5in(a-^- b), 



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also \im so mehr sin c < sin a -\- sin b. 



Ist a -(- b = - , so ist sin a -|- sin b > 1 , daher auch -axa. so mehr 

 2 



sin a -J- sin b > sin c. 



Für a-|-b> — istb> — — «, also sin b > sin ( a ) 



a a \3 y 



und daher sin a + sin b > sin a -}- sin [ a J 



