i5o 1'ralles analytische Betrachtnng 



SXTOZen, allein es könnea unter erforderliclien Nebenbestiminun2;en dereo 

 so viele seyn als man -will^ dann enthalten sie die ebene und sphärische 

 Polygonomietrie, und in ihrer Verbindung die Polyhedrometrie, deren Gegen- 

 stand analytisch betrachtet, also nur in der Elimination vorkommender Grö- 

 fsen, der Bildung von Gleichungen zwbchen solchen, die in den gegebenen 

 nicht in dei-selben vorkommen, bestehen kann , welches zu leisten nur des- 

 ■wcgen nicht unmöglich wird, weil die einzelnen Gleichungen der einfach- 

 sten Natur sind, -welche die Hauptbedingung des Gegenstandes gestattet. 



Es ist nur noch, zu zeigen ,, wie die gegebene Theorie An^vendung 

 auf Dreiecke habe, und es genügt, wenn es für ebene geschieht,, indem da- 

 durch eine bekannte Schwierigkeit gehoben, wird, welches, wie es mir scheint, 

 die Analysis bisher nicht geleistet hat» Den» die Schwierigkeit liegt, nach 

 meinem Ejachten,, darin, dafs man das Aehnliche zweier über Grundlinien 

 verschiedener Lance, aber mit gleichem anliegenden Winkeln construirten 

 Dreiecke, also auch eine gleichmäfsige Bestimniungsweise bei verscliiedener 

 absoluter Gröfsc' anzuerkennen verweigert, Spitzfindigkeiten findet oder sucht,, 

 die Absurdität der Verneinung einer mathematischen Walirheit aber nicht blos 

 ausgesprocKen sondern dargelhan werden mufs. Es scheint daher,, man müsse 

 ron einem Theorem ausgehen,, welclies für alle Dreiecke vollständig erwie- 

 sen ist,, und nur vermittelst eines solchem könne; eine am sielt nicht be- 

 zweifelte Wahrheit begründet werden, 



§'. lov 



Da in den Elementen bewiesen wird,, dafs in einem; gradlinichten Drei- 

 eck je zwei Seiten zusammen gröfser als die dritte, so mussem diese der 

 Gröfse nach; betrachtet tmdl mit a, b, c bezeichnet, dreien der 



a* = b^ -f- c*, — 2cb . « 

 ähnlichen- Gleiclimigen nothwendig entsprechen. Es ist nur" unbestimmt, 

 welche Bedeutung die Gröfsen «, ß, 7 in der Anschauung *kes Gegenstandes 

 fcabi-n.. Liäfst diese sich auffinden, so können jene Gleichungen als ein geo- 

 metrisches Theorem ausgedrückt werden, welches sich blos auf Gröfsen be- 

 zieht, die in der Betrachtung eines Dreiecks liegen.. 



Aus dieser und der vorliegenden Gleichting geht leicht hervor, dafs der 

 Winkel zwischen b imd c das « bestimmt und nur mit diesem ändert, obwohl 

 unmittelbar nicht klar ist,, wie die Gröüsen: «,. ß,. 7 bestimmt sind.. Aber 

 wie oben (§. 6.) gezeigt , ist 



b7 + cß = a; ca -f- a7= L;; aij3 -|r b« = av 



