j32 Tralles analytische Betrachtung 



und ähnlich für die andern Seiten, erwiesen, ohne durch die Schwierigkeit der 

 Theorie der Parallelen gestöhrt 7AI seyn, welche vielmehr hiernach von selbst 

 folgt. Dafs gedachtes Segment, wenn es nicht auf der Seite, sondern in de- 

 ren Verlängerung liegt, negativ werde, ist hier nicht zu erörtern nö- 

 thig. Es i^t aber zu bemerken, dafs das Theorem, so wie es hier erscheint, 

 nicht auf Quadrate und Rechtecke zu beziehen ist, sondern auf die Lehre von 

 der Proportionalität, die aber von der Geometrie, also von den Schwierig- 

 keiten derselben unabhängig ist, und ihr, wissenschaftlich betrachtet, voran 

 gehen soll. In unserer, jetzigen arithmetischen Betrachtungsweise drückt 

 «ich das Theorem ohnebin klar aus, und dies •war die -wesenllichere Absicht 

 dieses Artikels, zu zeigen, wie die elementare Theorie dreier Gröfien, deren 

 Summen zu zweien das dritte übertreiFen, in der Geometrie, die am Ende 

 ganz auf dem erwiesenen Satz beruht, anzuwenden sey. 



Ueber die Gröfse 7 seilest ist zu erinnern, dafs, wenn alles wie zuvor 

 bleibt, im gleichschenklichten Dreiecke, wo b und der Winkel an der Basis 

 f^ecreben, b'jf, also auch 7 gegeben ist. Dieses aber ist von b und a unabhän- 

 gig, in sofern es allein durch die Winkel dieses Dreiecks bestimmt gedacht 

 ■wird. Aber da nach der allgemeinen Gleichung ( §. 6. ) 



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« = — ß7 + Vi-ß* 1/1-7 



hier aber ß = 7, so wird k^=^\ — 27', also ist auch a in Folge desselbe« 

 Winkels C durch 7 bestimmt. Da nun von den drei Gröfsen «, ß, 7 nur eine 

 allein vorkommt, auch zufolge der den Euklideischen Sätzen die Paralle- 

 len betreffend vorangehenden, einer der Winkel ohne einen andern nicht 

 ändern kann, so kann man sagen, 7 sey eine Funktion von einem der Win- 

 kel, es ist nur am bequemsten, 7 als Funktion des Winkels C anzusehen. 



Im Grunde aber haben beide Trigonometrien nichts mit den Winkeln 

 «elbst zu thun, sondern betrachten einen Winkel als gegeben, wenn das Verhalt- 

 nifs einer Linie, die zwischen dessen Sclienkeln rechtwinklicht auf einen steht, 

 zu einer den Längen, die sie vom Winkelpunkte an von den Schenkeln abschnei- 

 det, gegeben ist; weil die Elementargeometrie mtr auf diese oder ihr gleich- 

 geltende Weise einen bestimmten Winkel konstruiren oder der Gröfse nach 

 angeben kann. Und in sofern der vorhergegebene Beweis zeigt, nur solche 

 Verhältnisse seyen für die Winkel gegeben, wenn die Seiten eines Dreiecks 

 bestimmt sind, so ist auch nicht mehr zu fordera. Aus den Gleichungen (§. 6.) 



