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Aus dem, was bisher dargethan worden, läfst sich das fernere der 
Gröfsenbeziehungen von p„, (u, in deren mannigfaltigen Folgerungen ohne 
Schwierigkeit ableiten. Aber es ist unserem Zweck angemessen, vorher auch 
zu zeigen, wie man auch auf kürzerm Wege, ohne Hülfe der Geometrie, 
zu den schon gefundenen Formeln unmittelbar gelangen kann. 
Es ist sehr leicht zu ersehen, dafs für p, p,-.» 4, 4 
willkührliche Gröfsen: 
P+4 2) (pt) Prtle 2)... (Put u.) =PH+Q.zi 
(P—4: 2) (4 2) PU) :::-. Pu. 2) = P—Q. z2 
wenn nämlich P und Q nur z in ganzen positiven Potenzen enthalten, oder 
... und z 
mA 
Qz# allein die Glieder alle in sich begreift, welche in der Entwickelung 
der beiden Produkte z auf Potenzen enthalten, deren Exponenten Brüche 
mit dem Nenner © sind. Denn die untere Gleichung kann augesehen wer- 
den, als entstehe sie aus der oberen, wenn man in derselben — (z}) statt 
z= setzt. Diese Substitution aber ändert die Vorzeichen der ganzen Poten- 
zen von z, also auch P und Q, nicht. Es wird also nur das Qz: der obe- 
ren Gleichung in 0% —(z)!, d. i. in — zi, übergehen. 
Multiplicirt man nun beide Gleichungen mit einander, so entsteht 
Pr) AIDA...) = PR 2 
welche Gleichung bestehen mufs, z sey was es wolle. Man setze in der- 
selben z=— ı, so geht sie über in 
BIRNEN, + A 
2 -ı 
welches gleich LER, + ce D, weil es einerlei ist, ob man z einen 
bestimmnten Werth in P und Q giebt, und sie dann zur zweiten Potenz er- 
hebt, oder umgekehrt. 
Das beobachtete Verfahren bietet also ein Mittel dar, die Größen p„, Ims 
denn dies sind die Werthe von P und Q für = ı, unmittelbar auf ei- 
nem der Analysis gemäfsen Wege zu erlangen. Für den Fall,- wo 
pp... undq=4.:-- -. gehen diese Produkte der m Faktoren über in 
(p+a. Zr =P+RQ z 
pg4 AP =P—Q 2 
wenn, wie zuvor, P und Q neben p und q nur ganze Potenzen von z ent- 
halten. Die Multiplikation beider Gleichungen giebt die 
