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von der Ableitung der Winkelfunctionen, 205 
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sen, wenn man die Reihen für p„ und q, als nach ganzen Potenzen von q 
fortschreitend, sucht, ist es auffallend, zu finden, dafs ihre Koefficienten 
abwechselnd mit dem Zeichen V— ı behaftet sind, p, und q, in der Ge- 
stalt A+B V- ı also als unmögliche Gröfsen erscheinen, denn B wird in 
keinem Falle Null, wie man leicht einsieht, da p und q jeden ächten Bruch 
bedeuten können, und die Koeflicienten ihrer Potenzen nicht Null werden, 
Man sieht also nicht einmal aus den Resultaten mit vollständiger Ueberzeu- 
gung ein, ob p„, 9. wirklich den reellen Theilen der Formen AHAVY—ı 
allein genommen gleich sind. Da man aber weils, dafs p,, q. reeller Ent- 
wickelungen in ganzen Potenzen von q fähig sind, gesetzt auch, man wolle 
dies blofs für n als ganze Zahl annehmen, wo die Induktion es vollständig 
bewährt, dennoch die allgemeinen Formeln dahin führen, dafs Pa oder q, 
in Form gleich AHBY—ı, wo A und Breel, so mufs folgen BY—ı=o, 
Da nun B nicht Null, so mußte V—ı—o seyn. Eine Folgerung, die 
man nicht gelten lassen kann, welcher also auszuweichen man cine andere 
Gröfsenart anzunehmen genöthiget ist. Jene Schwierigkeit durch besondere Be- 
trachtungen, wie es geschehen kann, zu beseiligen, entspricht nicht dem 
allgemeinen Gange der Analysis, ist auch nicht nothwendig, wofern man 
nur das Zeichen (— ı)" in einer anderen als die gewöhnliche Bedeutung 
nimmt, welche es haben kann, indem man es nicht als eine überhaupt 
an sich unverstündliche mte Potenz der Wurzel — ı, sondern’ in ihrem gan- 
zen Umfange als eine stetige Funktion von m ‘betrachtet, der Eigenschaft, 
dafs sie für m jede gerade Zahl gleich + ı, für jede ungerade — ı wird, 
Dann wird (— 1)’, der Werth dieser Funktion für m, gleich £, welcher 
keinesweges eine unmögliche Gröfse seyn mufs, sondern so wie (—ı)"tz 
für m jede ganze Zahl allerdings Null seyn kann, ohne den Wertben von 
(— ı)" zu widersprechen. Diese Ansicht leidet die bisher geführte Unter- 
suchung durchgängig. 
Die nähere Betrachtung der letzten Formeln führt also zu eben dem 
Resultat, auf welches die Verallgemeinerung von p,, q. im vorigen leitete, 
“und wenn man, wie dort ($. 13.) geschehen, statt (—ı)* die Gröfse Fa 
auch hier in jener Bedeutung nimmt und setzt, also die Potenzen von (— ı) 
nicht gebraucht, sondern die Potenzen von = beibehält, aber die Potenz- 
zahlen allgemeiner als blofse Zeigezahlen betrachtet und andeutet, indem 
‚man 7, statt #“ schreibt, so werden die letzten Formeln: 
Matliem, Klasse 1812— 1813. ” Dd 
