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Daher die Summe der Reihe (F) ins unendliche und in ganzen Perioden 

 von n Gliedern, das n so genommen, dafs anz zur Ueinsten oder auch zu 

 irgend einer ungeraden Zahl vird, fortgesetzt, gleich ist: 



'- (1 — 1 + 1 — 1+...)=— 2-— 



welches im plue m= i gleich — i wird, wie oben. 



Dies beruht zwar auf die Voraussetzung, z sey ein rationaler Bruch, 

 aUein kann offenbar auf jeden möglichen Werth von z ausgedelmt werden. 



Will man diese Reihen nicht nach einer gleichförmigen Gliederan- 

 zahl nehmen, so lafst sich auch fiir dieselbe, so weit man ^viU fortgesetzt, 

 keine bestimmte Summe angeben, in so ferne man n nicht absolut unend- 

 lich denkt, in welchem Falle man sich allerdings vorstellen darf, dafs es 

 das unendlichfache der Zahl der Glieder einer Periode sey, wie es der Faktor 



j , j , darlegt. Eine andere Schwierigkeit könnte man vielleicht 



daiin finden, dafs, wenn man Perioden nimmt, so dafs anz eine gerade 

 Zahl: dann geben beide Formeln die Summe einer solchen Gliedermenge 



= o • Q'W -1, also die Reihe ^- (o + o + o ), wie es auch aus der 



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1 + 1 ... folt't, wenn man zwei Perioden zusammenzieht. Allein jene 



Reihe o + o+ ins unendliche ist blofs eine unbestimmte Gröfse, die man 



als aus der Entwickelung von — — entsprungen, zu betrachten hat ; für den 



Fall z=o sieht man, sowohl aus (E) als aus (F), dafs im ersten Theile 

 Zähler und Nenner zugleich NuU werden, also der Werth einer Periode 

 unbestimmt ist. 



Die ersleren Herleitungen dieser Reilien vermittelst des eingeführten 

 Algorithmus haben aber dm Vorzug fiir sicli, dafs sie d.iselbst als das, was 

 «ie sind, nämlich entwickelte Funktionen ihrer ersten Glieder oder soge- 

 nannten Summen darbieten, mithin jede fernere analytische Behandhing ge- 

 statten. Will man die letzteren Formen ferner benutzen, z. B. durch Dif- 

 ferenzialion oder Integration andeier ableiten, so mufs man sie noih wendig 

 als unendliche Reihen sich denken, damit sie für jede durch iden unbe- 



