Betrachtung der Dimensionsverhähnisse. 229 



Im Würfel *) ist das Verhältnifs dir kleinsten Dimension zur 

 grellsten das von 1 : 1/3; die mittlere bekommt dann im Verhälinifs zu 

 jenen beiden Gröfsen den Wertb von I/2; alle drei geben also das Schema: 

 kleinste Dim. d. W. : mittl. Dim. : gröfste Diuu 

 1 : 1/2 : K5 



Im Octaeder**), dem Gegenstück oder Gegenkörper des Würfels, ist 

 das Verhälinifs der kleinsten Dimension zur gröfsten das vorige 1 : I/5; 

 der correspondirende Werth der mittleren aber wird hier */4; das Ver- 

 hälinifs aller drei wird demnach; 



kleinste : mittlere : gröfste 



s/\ : 1/5 =: 



1-V3 



Auch in diesem Falle also werden in dem Verhältnifs der Extreme 

 1 : 1/5 durch das Auftreten des Mittelgliedes die nämlichen Verhältnisse 

 1 : ]/s, und J/a : 1/5 als abgeleitetere entwickelt, wie beim Würfel, aber 

 in umgekehrter Stellung als bei diesem; dasjenige vorangehend, was 

 bei diesem folgt, oder die Beziehung des mittleren Gliedes auf das klein- 

 ste, wie dort auf das gröfste und umgekehrt. 



Im Granat oeder ***) wird das erste der beiden obigen abgeleite- 

 ten, nämlich das Verhältnifs 1 : I/2 zum Verhältnifs der kleinsten Dimen- 



•) Wenn in' Fi». 4- der beigefügten Kitpfertafel a die Mitte der Würfel/lache dhkg, /.die Mitte 

 der YViirfelkante dq, und e der Mittelpunkt des Würfels selbst ist, so verhalten sich 

 ca : cb : cd = 1 : V~ 2 : V~ 3- 



••) Wenn in Fig. *. 1, e, o. Ecken des Octaeders, d die Mitre der Octaederfläclie a;o, b die 

 Mitte der Octae'derkante ao, und r der Mittelpunkt des Octaeders ist, so Terhalten sich 

 ca : cb : cd = 1 : y"V : VT 



"*) Es sey in Tig 2. b die Mitte der Granatoederflache adog, d die stumpfe Ecke des Gr»- 

 natoeders, o die scharfe, c der Mittelpunkt des Korpers, und cf senkrecht auf da, so ist 

 wenn ca = i, cb = V~it ca — Vit «* = V~l- 



Ff 2 



