a 7 8 W e ifs 



AE X CF 

 GA : AE ZZ CF : FE; folglich GA ~ -r 



X*Zh 



ferner ergiebt sich aus der Aehnlichkeit der Dreiecke CGB und DAB, dafs 



AB X CD 

 GA : AB ZZ CD : DJB; also G>4 ZZ — 



Wenn man nun in die erste Gleichung den Werth von GA substi- 

 tuirt, welchen die zweite Gleichung giebt, so hat man 



CF : FE — AB X C - : AE— AB X CD : DB X AE, wie oben. 

 DB 



Und wenn man in die zweite Gleichung den Werth von GA aus 

 der ersten Gleiohung substituirt, so erhält man 



CD : DB ZZ ^ E X ° - : AB — AEX CF : FE X AB, wie oben % 



In der Anwendung kommen besonders die Fälle häufig vor, wo 

 4E ZZ EB, d. L a ZZ b, oder wo b ZZ &a, oder a ZZ zb, ferner wo 

 a — 5b, oder b ZZ 5«. 



•) Wenn es darauf ankommt, das Verhältnifs Ton AF : FD zu finden, so darf man nur AE 

 und ER mit CB und DB vertauschen, so ist AF : FD, was vorhin CF y FE. Also 

 AF : FD = AE X CB : ED X CD, oder wenn wir zur Abkürzung AF, v nennen, und 

 FD, w ; so ist v : u< = a (x -+- y) -■ bx. 



Soll das Verhältnis t> : w durch die gegebenen a : b und n .• m «usgedrückt werden, 

 so giebt die letztere Formel 



v .• w = a (na + (m (a+b): bna = na -+• m( a + J ) •' *"' 

 Ist v .• w gegeben, so finslet man wieder 



n .- m = (a-\-b) iv : bv — aw, oder 

 n „• n+m = (a+6) 10 .• (»+"0 * ■ desgleichen 

 H i y-3 au> .* bv — aw, oder 

 sc : x+y = aw •• bv 

 Kommt o» darauf an, das Verhältnis JE : EB zu finden, so ergiebt sich au» dem to» 



rigen, JE : EB =g .• g - AF X CD .- Fß X CB, oder 



a : b = — — • = t>x : u> (x+y) i 



x+y x 



«ben so ergiebt »ich aus der ersten Grundgleichung: 



»» n 



a- : a+b = •• = mx •' "V 



y x 



Und wenn c .• u> unter den gegebenen ist, so ist a .- b = x» : (x+y) w « 



nv — mw ; w (n+m) und a i a + b = nv — mw ', n (v+w) u. ». w. 



