Auflösung einer geometrischen Aufgabe. 47 



Nachtrag. 



Eine bemerkens werthe Eigenschaft der Kegelschnitte, die ich als 

 Lehrsatz hier mittheile, empfiehlt sich besonders durch den äufserst leich- 

 ten und einfachen geometrischen Beweis, den ich davon aufgefunden habe. 



Lehrsatz. Wenn man durch einen Punkt in der Ebene 

 eines Kegelschnitts zu dieser Curve Secanten zieht, und man 

 die Durchschnitt? punkte von irgend einer Secante mit den 

 Durchschnittspunkten einer andern Secante durch Diagonalen 

 verbindet, so liegen alle Durchschnittspunkte dieser Diago- 

 nalcn in gerader Linie, 



Beweis. Es sei ABDFEC (Fig. 3.) ein Kegelschnitt, und K ein Punkt 

 in der Ebene dieses Schnittes, den wir aufserhalb der Curve annehmen. Wenn 

 wir durch diesen Punkt, so viel man will, Secanten KB, KD, KF ziehen, 

 und die Durchschniitspunkte von einer jeder, der Secanten mit den Durch- 

 schnittspunkten der Curve mit den andern Secanten durch gerade Linien 

 verbinden, so liegen die Durchschnittspunkte G, H etc. von allen diesen 

 Diagonalen nothvvendig in einer geraden Linie. 



Man nehme einen Punkt I aufserhalb der Ebene des Schnittes und 

 betrachte diesen Punkt als die Spitze eines Kegels, dessen Erzeugungslinien 

 sich alle an die Curve ABDFEC anlehnen, so werden die Durchschnitte der 

 Ebenen IKB, IKD, IKF etc. mit der Ebene abdfec, die mit KI paral- 

 lel läuft, gerade Linien ab, cd, ef etc. sein, die mit KI parallel, also auch 

 unter sich parallel sind; wenn aber in einem Kegelschnitt, so wie abdfec, 

 ein System von Sehnen parallel ist, so halbirt eine Linie, die irgend zwei 

 von ihnen halbirt, auch alle übrigen; überdem liegen auf dieser Halbirungs- 

 linie alle Durchschnitt spunkte der geraden Linien von den Endpunkten jeder 

 dieser Sehnen bis zu den Endpunkten der andern Sehnen, also liegen die 

 Punkte g, h etc. in einer geraden Linie. Uebrigens schneiden die aus dem 

 Scheitel I zu diesen Durchschnittspunkten gezogenen Linien die Ebene 

 ABDFEC in Punkten, welche die Durchschnittspunkte von den corresj.on- 

 direnden Linien in der vorgegebenen Figur sind, folglich liegen diese Punkte 



