dei- JhiMidiscJien Geometrie. 53 



ist die Summe der Quadrate der beiden' Seitei gleich der 

 doppelten Summ'e de« Quadrats der Traosversale ' und 

 des Quadrats der halben Grundlinie; 

 Bew» Es fei Cc auf AB perpendicnlar, und GL> die Transversafe, so^ ist 

 CA» = DC» + DA* + aDA.Dc ) g j^ jg 

 und.CB* =DC* -f BD» — 2DB.Dc i " 



folglich CA» + CB' =2DC? 4- 2-AD»= a[DC*-|r AD»]= 2[DC» -f--jAB*]. 

 Zus. Wenn die Transversale CD der halben Grundlinie AB gleich 

 ist, so ergiebt sich: G A* -f CB' =4. AD» scrAB*, also nach Eukl. i B. 22 S, 

 ist der Triangel in diesem Fijlle rechtwinklig, dh. , wenn die drei Win- 

 kelspitzen eiöes Tri-a-ngel» voti der' Mrtte einer Sei4:e gleich 

 weit entfernt l-iegen,' so rst der Triangel rechtwinklig. Dieser 

 Satz läfst sich aljer avioh leicht unabhängig vom §. 22. so beweisen. In 

 Fig. 16. ift m'=i2x und n = 2y, also m -J- "' = 2X -|- sy; da nvm 

 7n + n'=2R, so ist -folglich x + y = Winkel C = K. 



Und umgekehrtr Jn jedem- rechtwinkligen Triang^el liegen 

 die 3 Winkelspitzen' von- der Miete der Hypotenus-e gleich vceit 

 entfernt, welches apagogisch leicht zu erweisen ist. Dieses letztere vor- 

 ausgesetzt,, so würde aus §. 22. wieder der Pythag. Lehrsatz als CorroUar 

 hervorgehen,. 



§. 23. 

 Lehrs. In jedem Parallelogramm ist die Summe der Qua*^ 



drate der beiden Diagonalen gleich der Summe der 



Quadrate der vier-Seiten. (fig. 17.) 

 B'e w. Da die Diagonalen eines Prllgr. siclvgegenseitig halbireni so ist nach §. it, 

 AB.» 4- AD»=cAE» -I- 2BE' 



und AD* + DC» = 2AE» + 2ED^ 



folglich AB? -f BC? -f CD» -f D A» = AC» + BD* 

 odei! 2'[A-&»^+ AD^] = AC* -f BD» 

 Zus.i Werden die Diagonalen- gleich, sö wird dfls PrlligHnv'öin'Rect, 

 und es ergiebt sich hieraus wiederum' der Pythv Lehrsatz als GoroUar. 



Lehrs. In jeder vierseitigen Figur ist die Summe der Quadra-- 

 to- ailer Seiteil gleioh der Summe von den Quadraten der 



