dcT Eiihlidischen Geometrie, 6t 



nalen gleich der Summe der Rect, aus den Gegenseiten, so 

 dafs AC.BD= AB. DC+ AD. BC g^ '-'!*:). 

 BeAv. Aus den bekannten Eigenschaften dieses Vierscits folgt, dafs 

 n==ni, p = q; macht man also y = x, seist 

 dei-AÄliD '/) /sBCr, daher AD. BC = Gl. BD, 

 und der a ABI -n aDI-J, alsöancli AB CD = AI. BD; 



folglich AB.CD4- AD.BC = AC.BD, 



An merk. Aus dem Bisherigen ist genugsam zu ersehen, dafs, wo sich gleich- 

 winklige Triangel voriinden, durch Anwendung meines Haupt -Lehrsatzes 

 sich sogleich die gleichen Rect. ergeben, und dafs also eine grofse Anzahl 

 von Lehrsätzen und Aufgaben, die man bisher nur nach erwiesener Aehn- 

 lichkeit der Triangel, also durch Proportionen, hat beweisen Ticinnen, durch- 

 aus von dieser Lehre unabhängig sind, und hierein setze ich eben das Neue 

 und das Vorzügliche meiner Beweise. — Jetzt sei es mir erlaubt, den lieber» 

 gang zu den Proportionen und der Aehnlichkeit der Figuren zu zeigen. 



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 Erkl. Das Verhältnifs zweier Gröfsen A zu B beruht auf der Vorstel- 

 lung, Avie oft die erste A (das Vorderglied), oder ein bestimmter Theil der- 

 selben, in der zweiten B (dem Hintergliede) enthalten ist, also auf der Vorstel- 

 lung durch einen Zahlenausdruck (der nach Umständen selbst irrational sein 

 kann). — Jenes Zahlenverhältnifs ist es, an das man sich hal- 

 ten mufs, wenn man über Verhältnisse und Proportionen zwi- 

 schen ausgedehnten Gröfsen »ich richtige Begriffe machen 

 will. 



Lehrs. Zwei Prllgrm. von gleicher Höhe verhalten sich zn 



einander wie ihre Grundlinien. (Fig. 34.} 

 Bew. Es soll erwiesen werden, dafs 

 Prllgr. AF _ AE 

 Prllgr. AC ~" ab' 

 Nehmen wir also erstens an, die Grundl. AB, AE sind commen- 

 surabel, so läfst sich ihr Verhältnifs in ein gleichgeltendes Zahl verhält- 

 nifs venvandeln. Dieses sei z.B. das Verhältnifs — : so mufs, wenn man AB 



