6.2 Gruson' s Fcreinfac/uing und Enteil erimg 



in m gleiche Tlieile theilt, AE genau n solclier Theile' enihalten. Zielu 

 man durcli jeden der ThsilungspuncLe eine Farallele mii der Seite AIJ), 

 so entstehn dadiuck m kleine gleiche PjIIgrru , Avovpn «u jiii Pillgr«i. 

 AC, und n im Prllgnn. AE enthallen ÄJLnd. Folglich verlialten sich diese 

 beiden Trllgmi. zu einander wie m zu n, also wie die Grundl. AR, AE. 



Gesetzt zweitens; die Grundl. AB, AE stKtji unter eänander incom- 

 mensurabel. — Wer läugnen wollte , dafs in diesem Falle dieselbe Pro- 

 poriKnäliiRt zwischen den Prllgrm. und d«»' Grundl. nicht stfttt findet, diu 

 müßte behauptet!, 'm<rfitÄE, sondern irgend eine andre Linie AG, die gro- 

 fser oder kleiner als AE ist, sei die richtige vierte Proporiionallinie zu den 

 drei andern Gröfsen. Wir wollen ;üso setzen, «5 sd AG um EG gröfscr 

 als AE, und es sei dann 

 ./U»iJi!3 , rrllgrm. AF _ AG 



PrUgrm. AC "^ ÄB' 

 Theilt man nun die Grundl. AB in gleiche Theile, welche kleiner als 

 EG sind, so mufs zwischen E und G wenigstens ein Theilpunct H fallen. 

 Durch diesen ziehe man die HI || AD, so entsteht ein Prllgrm. AI, de^,^en 

 Grundl, AH mit AB commensurabel ist. Nach dem, was vorliin bewiesen 

 ist, hätten wir also 



Prllgrm. AI _ AH 



Prllgrm. AC ~ Aß' 

 Dividircn wir den ZaMausdruck (I) mit dem Zahlausdruck (II), »o niüfste sein 

 t Prllgrm. AF _^' AG 



Prllgrm. AI " AH' 



Prllerni. AF . . . , „ , AG . 



aber ist ein achter Bruch, und cm nnachter Bruch. 



Prllgrm. AI AH 



welches ein Widersprach ist. Also kann keinte Linie AG, welche gföf^ef' 



als AE ist, die richtige vierte Proportionallinie zu den drei obengenannten 



Gröfsen sein. 



Auf ganz ähnliche Weise beweifst manj dafs auch k-eine Linie, welche 

 kleiner als AE ist, die richtige vierte Proporlionalgröfse sein kann. 



Nothwendig' nuils -dieaes also AE selbst sein. 



Lehrs. Zwei gleich vr^nklige Prllgrm. verhalten sich zu eina9< 

 der, wie die Producte aus zwei Seiten, die einen gleichen 

 Winkel einschliefsen, (Fig. 35.^ 



