der EuhllcUschen Geometrie. 6y 



mit A, B, C, D, . i". N bezeichnen •wollen. ^ bezeichne den P. d, m. E., 

 und die ans dieserii'Pünct nach den Winkeln A, F; Cll.N gezogenen 

 I\aJicn sollen der Reilie nach niit r, r', t",...!^""-'^ bezeiclinet sein. End- 

 lich sei e die Enlfernnng des Piincies 5^ von dem Pnncte 9f. ' 



Es ergeben jich hier n Triangel, die alle die gemeinscliaftliche Seite 

 c haben; von den beiden andern Seiten ist die eine Immer' ein Radius, und 

 die andere eine aus 5f gezogene Linie, daher haben >vir hier aiis §. 18 n, 19. 

 fiilrrende n Gleichungen: 



— •' A'=r* +e'-f-2e.re 

 B" = r"" + e» + 2 e . r',. 

 C»=r"« + e» + 2-p.r"e 

 •< * ii I " II i 



Anmerk. Dafs ich die doppelten Rect. aus e und der Projection des Radius 

 auf sie immer positiv gezeichnet habe, darf keinen Anstofs finden, da das 

 Zeichen + hier nur ein Operadonszeichen ist j ob aber 2 e . r^ addirt odex- 

 subtrnhivt werden soll, hängt von der Lage, die r, hat, ab. 

 Da nun r, + r*, + . . . + r<J'-'5 = ( §. ^3,) 



SO ist auch ce.r, + 2e,r'e -{-... -f-^e, r^J'~'^ 



=: 2e . [re + r'. + , . + r<^°-'5] = 2 e . o = o 



Folglich A* + B» + . . . + N* = r« -j- 1^^+ . . . + r«"-'» + n . e». 



Anmerk. Dieser schöne allgemeine Lehrs. ist nirgend so leicht ganz.rej^ 

 geometrisch erwiesen worden, 



1. Zus. Die Summe A* + B* -j- ... + N' ist am kleinsten, wenn e = o, folg- 



lich ist die Summe der Quadrate der Entfernungen aller Winkel einer 

 Figur vom Puncte 9^ ein Kleinstes. 



2. Zus. Wenn der Punct 3i in der Peripherie eines Kreises genommen wird, 



der aus ^3 mit der Entfernung e beschrieben ist, so ist 

 A*+B'-f--" + N' für jeden Punct 5( in dieser Peripherie eine con- 

 stante Gröfse. Dieses ist der i2te Satz von Huygens Horologimii oscil- 

 latorium. .■ i i . ' . 



3. Zus. Ist die n seitige Figur regulär, so ist, wie sich leicht darthun läfit, 



5) der Miltelpnnct dieses regul. Polygons, daher 



A» -f B» + . . . + N« = n . r* + n . e» = n [r* + e*3 

 d. h. die Summe der Quadrate der Entfernungen aller Win- 



