70 Gruson 's l^ereiiifachnjig und Enveiteruiig 



kel eines xegul. Polygons .voip einem beliebigen Puncta ^ 

 ,,,..eine« Kreises, der mit dem Polygonreinejrlei^JVIiitelpunct 



.j^^jjhat, ist gleich der n fachen Summe des Quadrats vom Halb- 

 messer des Polygons und des Quadrats vom Halbmesser 

 des Kreises. 



f,j,.,\Venn n = 3und e = r, so ist A* .-|- B* -|r,p*;^ G t* 



für n = 6 mid.e = r, wäre A* -l-p»,4- ,C»-^r ,D* + E' -{tF*;:^ ipr* 



\. Zus. Nimmt man im 3. Zus. e = r und n=2, so ist , ^'_ .--.v 



A* + B* =4r* = dem Quadrat des JDiixchgiessers , welches -wiederum 

 der Pythag. Lehr», ist ,,.-'- 



■?• 55. 



Lehrs. Verbindet man n in einer Ebene liegende Puncte, j^ 

 zAvei und zwei durch gerade JjJnien, so ist die Summe der 

 Quadrate aller dieser Linien gleich der n fachen Summe 

 der Quadrate, dei.,E<nt fern un gen aller runcte des Systems 

 vom Puncte ?P-f.-. ?o ; 

 Bew. Man denke sich deii in §.54- genannten Punct 3( nacTi und nach in je- 

 dem der n Puncte des iu betrachtenden Systems , so gehen von diesem 



Punct 31 nach den übrigen n — 1 Puncterf n 1 Linien. 



Es ergeben sich alsa hier n Gleichungen ,• deren eine Hälfte aus der 

 Summe von tf— i Quadraten," nämlich der Summe der Qiuidrate von Linien, die 

 aTi%^5( licich allen übrigen Püncten gezogen werden, bestehet, tmd deren aii- 

 dere Hälfte aus der Summe der Quadrate aller n Radien aus ^ beistehen, 

 die wir durch Zr' angeben wollen, und aus dem n fachen Quadrat der je- 

 desmaligen Enlfemuiig des Puncis 5^ von 2f. ' '^^ 



In allen n Gleichungen zusanunen stehen also in der Hälfte linker Hand 

 n-;l(ri" — 1) Quadrate. Bei einiger Aufmerkfamkeit dürfte «s nicht entgehen, 



dafs jedes Quadrat zweimal da ist, und also nur — —^ i verschiedene Qua- 



•: : . . ■ -2 



drate linker Hand doppelt genommen wirklich vorhanden sind. Die Summen 

 von der Hälfte rechter Hand der n Gleichungen geben, Avie zu übersehen, 

 nZr*-l- n . r* + n . r'» + n . r"* -f . ; -f n . r^"-'> i 

 = nZr* + nCr^ 4. ,^2 + . . 4. r.«->2] = nZr* -{- nZr« 



=t a n'Z r' ■ • • 



