der EuJdidlschen Geometrie. ^\ 



Folglich ist nZr* gleich der Summe aller Quadrate von allen Linien, die je 

 zwei Piiiicte de» S?ysteriK veil>indeili- 



:, • . $. 56. " . " 



Aiifg. Es sei gegiE%en'^2 äYe SumAe der* OuitärVt'? der Entfer- 

 nungen eines Punctes von jedem der n — i andern, und Z, 

 die Summe deir (Jiiadrate' der Entfernungen alTer Puncte 

 des Systems, je'z'-wei ünä'zweil lÖän s'oll' hiferÜiis dWs'Qua- 

 drat der Entfernung' ein6S ühtii'r ihilen vom allgemeinen 

 Pxinct 9^ finden. - - ^ 



Avifl. Die zu findende Entfernung sei r, 



so ist nach f. 54. Sj = Zr* +n.r* also Ür« =S, -^ xl. f*; 



' " t. 



nach dem vorhergehenden $. ist nZr* = Z 2, also auch Zr* =: — » 



n 



folgbch r' =x . 



d. h. In einem System gegebener n Puncte ist das Quadrat 

 der Entfernung eines unter ihnen vonr allgemeineü Puncte 

 der mittlem Entferntingen gleich der n fachen Summe der 

 Quadrate der Entfernungen dieses Puncts von allen an- 

 dern, wenn man hievon die Summe der Quadrate der Ent- 

 fernungen je zweier Puncte abzieht, und diese Differenz 

 durch das Quadrat der Zahl der Puncte dividirt. 



§• 57. 

 Anmerk. Hat irgend eine Figur von a. n Scheitelpuncten einen Mittel- 

 punct der Figur, d.h. einen Punct, in weichemalle durch ihn gelegten 

 Diagonalen halbirt werden , so ist dieser Punct auch zugleich der Punct ^. 

 Bezeichnen wir nun die Summe der Quadrate der durch ^ gehenden Dia- 

 gonalen mit A> die Summe der Quadrate aller übrigen Diagonalen imd Sei- 

 ten mit B, so ist A = !iZr» ($-55-)» 



2n.Zr»=A-f B ($. 55.). 

 also n.A = A-{-B, 

 . folgl. ,(n — l) A = B. . . 



So, ist bei. einem Parallelogramm n = 2; A = der Summe der Quadrate 

 beider Diagonalen, und-B die Summe der Quadrate von allen 4 Seiten, 



r '■" "t" 



j 



alto A = B, wie in $.33. 



