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vro auch das Resultat das voiige ist, — i nämlich statt i in jenes ge> 

 setzt. 



Setzt man — , — statt n lind i , so wird also , nachdem man zuvor die 

 k k 



Gleichungen mit i mulliplicirt: 



i i _ i.iJjIk i.iZfLk.ilJI'jk _ 



iTTi "^ ^^ZfÜ. "^ n + k-if+Tk "^ n-}-k.n ;-2krir-j-5k '*' * " 



und beiderseits i addirt, erhält man im Gebrauch der untern Zeichen die 



Reihe für , welche Euler gefunden (Cala Int. T. IV.) und \mter meh- 



n — i 



rem Rücksichten betrachtet, ohne, wie es mir scheint, den an sich höchst 

 einfachen Grund ihrer ersten Entwickelung wahrgenommen zu haben, wel- 

 chen nachzuweisen ich mir hier also wohl erlauben darf. 



Um einen Bruch wie : in einer konvergirenden Reihe zu ent- 



n — i 



wickeln , i.<;t blofs zu bemerken, dafs die Glieder als successive Quotienten 



willkührlich nur so zu wählen sind, dafs der Rest der Divi ion unbestimmt 



abnimmt. Man sehe also k, k', k" ... , im folgenden ganz einer gewöhn- 



L'chcn Division ähnlichen Verfahren, als wilikührliche Gröfsen an, und setze 



- -•-. = -1. + K 

 n — 1 n-f-k 



i + k 

 so ist R = 



(n— i)(n + k) 



•nd dieser Rest ist kleiner als der vorgegebene Bruch ; , wenn nur 



n — 1 



i < n. Es ist aber jener Rest ein neuer Bruch, und man kann den Ono- 



tienten willkührlich nehmen nebst einem neuen Rest, also setzen: 



R -_±hL— = _i±^— + R' 



(n— i;(n + k) n + k.n+k'^ 



woraus folgt: 



(i + MCi + kO , , ■ 



R' = i — ! — — — 1 ■ — -— , daher fornpr 



(n-iHn + k)(n + k) 



