von den Summen eiiiiger Reihen. 2ii 



in ■welcher x und y jede für »ich ■vrillkühilich, also von einander unabhän- 

 gige Gröfsen, die also die Natur der Funktion f ausdrückt, aus welcher 

 ihre übrigen Eigenschaften sich wie von selbst ergeben. 



Ihre Di/lerentiol^ nach x und y müssen als getrennte Gleichnnge« 

 für sich bestehen, sie sind 



f(x + y) + f(x — y) = 2fr.fy . . . . (B) 



f(^+y).-f(x-y) = 2fx.fy (C) 



Die (B) nacli x und (C) nach y difTerentirt, geben : 



f'('t+y) + f'(''-y)=2rx,fy .... 



f'(x + y)-|-f'(x-y) = 2fx.ry 

 Diese durch einander dividirt, so folgt 



— ^'"^ -II 



* ~" 'hTF^ 



oder 



fy _ fx 



77 ~ "fT 

 fx 

 Ix 



f X 



7^ = " . 



also 



t rx=cfx (D) 



Die Gleichungen (B) und (C) subtrahirt und addirt, geben 

 f'(x-y) = f'x.fy — fx.fy .... (E) 

 F(x + y) = rx.fy + fx.f'y . . . . (F) 

 welche , abermals nach x oder, y diilerentirl, 



f"(x-y)=:f'xfy — Fxfy . . . . (G) 

 F'(x + y) = fxfy + fxfy .... (H) 



mithin in Folge der Gleichung (D) 



cf(K — y) = cfx.fy — fxFy .... (I) 

 cf(x + y) = cfx.fy+ fxfy .... (K) 

 jreben. 

 Aus der Gleichung (A) aber folgt, dafs für y = o die fy= i, und aus 

 der Gleichung (C , dafs für y = o die fy = o seyn mü.sse, welches beides 

 auch aus diesen Gleicliungen (1) oder (K) zu ergehen. 



Dd 2 



d. h. — — ist beständig, x habe welchen Werth luan wolle, oder e« ist 



