212 Tralles 



Setzt man nun in (I) das y3=x, so kömmt: 



c = cfx»— f'x* .... (L) 



oder 



f'x= vr(c.fx»-^c) .... (M) 

 Die Funktion f x ist also bis auf die willltührliche c völlig bestimmt. Denk 

 da die f x als Funktion von fx sich ergeben, auch f"x = cfx, so sind die 

 Difiierentiale jeder Ordnung von fx bekannt, so dafs sich diese in eine Reihe 

 entwickeln läfst. 



So wie fast jede Ansicht der trigonometrischen Funktionen, so setzt 

 auch diese dieselben in Zusammenhang mit den Exponentialen und loga- 

 lithmisehen. Denn man hat für diese die der obigen ähnlichen Glei- 

 chungen 



fx + fy = f(x.y) 

 in -welchen ebenfalls y und x ron einander unabhängige veränderliche Gro- 

 fsen sind. Die DüTerentiale derselben sowohl nach x als nach y niüssen 

 also für sich jede insbesonders statt haben. Demzufolge giebt jede dieser 

 beiden Gleichimgen zwei Differentialgleichungen, au» welchen vinmittelbar 

 ftir die erste 



fjc _ fy 



TT ~~ fy 



und für die andere 



X f ' X = y f ' y 



f ' X 



Folet, daf« also diese Fimktionen und x f ' x Werthe ihrer Veränder- 



^ fx 



Hohen und einer vi-illkührlichen Beständigen gleich-zu setzen sind , welches 

 die bekannten Di Tterentiale gicbt, wodurch denn auch die Funktionen be- 

 stimmt sind, wci. hc den durch die vorgelebten Gleichungen ausgedruckten 

 Eigenschaften enlsprechen. 



?• 15. 

 Der Werth der Summe der unendlichen Reihe der rcciproken Qua- 

 ilrate der aalüxlichen Zahlen läfst sich durch eih rinfflches, vou den bishe- 

 rigen Methoden ganz rerschicdenes .' und rein analytisches Verfahren 

 linden. 



