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._Die geg€beite Gleichung aber in entmckeker Gestalc ibi<-^'' 

 .' ■' 'I ' '• h.ft'-^i n.n — 1 .n — a 



7x..,==,f .?,> + — 7r vx* + — 77^g~ y^ + ... 



Von dieser ^st also die vorliergeliende das vollständige Integral oder die 

 nacli der gegebenen Form x mal wiederholte Funktion. 



Setzt man also a,^tatt n, und in dem obigen allgemeinen Ausdruck von y^, 



a.a — 1 a.a — i.a^-ä*' 

 b = , c = 1 u. s. w. , 



1.2 1.2.3 



SO mufs derselbe durch die Substitution dieser Gröfsen übergehen in 



a^— 1 a'' — i.a^ — 2 



y^ = a^ u -1 a^u* -f ^ s^a} + . . .. ^ 



.'*! Oll 2 ■'! ,\iy 2'. 3 . ;if^i;i \v.vji< ,!J , * 



also heben sich dann in den Coefficienten alle a, die im Potenzex[5onentca 

 nicht X liaben, von felb.-t auf, und jeder CoeiRcient von a'"', venn alle die 

 im allgemeinen Ausdruck unter demselben a'^ii'' begriffen sind, zusammen- 

 gezogen -werden, mufs in eine bloTse Zahl übergehen, mithin auch ein jeder 

 Coefficient von a''^ — 1, weil dieses mit a''^ in dieselben algebraischen Funk- 

 tionen von a multiplizirt vt^ird, welche aLo zusammen einen Bruch bil. 

 den, dessen Zahler und Nenner aus denselben algebraischen Faktoren be- 

 stehen. 



Den Quotienten dieses Biiichös erhält man aus den vorliegenden be- 

 sondem Fall , ab r auch die allgemeine Formel giebt denselben ohne Schvrie- 

 xigkeit. Denn da man weifs, dafs derselbe von a unabhängig ist, so kann 



b 1 c 1 d 1 



man in der Formel nur a = o setzen, also =— — , — = — , -= 



a 12 a 5 a 4. 



H. s. -vr, , aber das a'' und die a'"', also die a'"'— 1 in derselben müssen 

 ungeändert bleiben. Diese Vergl^ichung der CoeiTieienten "im .Allgemeinen 

 mit denen des besondern F'älls soll blos dienen, um einige Eigenschaften 

 jener bemerkfich zu machen, da eine voUständigerA Erörterung derselben 

 hier nicht beab.-^ichtiget wird. 



Dieselbe Methode, welche gedient hat, die, x mal wiederholte Funk- 

 tion y^ nach dem Gesetze gebildet, dafs 



7x4-. = ayx + ty* 4- cy^ + . . . "''- 



also das Integral dieser -Gleichung zu finden , hat auch noch ihre Anwen- 

 düng, wenn a, b, c . . . veränderlich und gegebene Funktionen von x sind. 



