von wiederholten Funktionen. 235 



e« geschieht dann, dafs die folgenden Werthe nicht positiv bleiben, sondern 

 negativ^ Averden, allein mit einem zwischenliegenden doppelten unendlichen 

 positiven und negativen Werlh. Uebrigens verdienen diese eigenthümlichen 

 Gröfsenarten allerdings eine nähere Betrachtung, da sie hier nur beiläu- 

 fig als besondere Fälle der allgemeineren Ansicht vorgestellt worden sind. 



Die Foi-men y,^, = a.sin.y^ oder y^^, = a . tang . y,^ geben nach der zwei- 

 ten allgemeinen Formel (§. 5,) die Entwickelung von y^ als Funktion von 

 X und u. 



Was aber Beispielsweise bei diesen Funktionen gezeigt worden, dafs 

 in derscll)igen Formel, sowohl der Ausdruck des Sinus oder der Tangente 

 durch den Bogen, als auch der umgekehrte des Bogens, nämlich durch sei- 

 nen Sinus oder dessen Tangente sich findet, ist als eine Eigenschaft der all- 

 gemeinen Formeln nicht zu übersehen, da diese die Umkehrung der Ileilien 

 als einzelnen Fall in sich begreifen. 



Denn man setze, es sey 



r = au -f- bu* -f- cu' -}"•••> 

 so kann man den Ausdruck in u als eine Funktion von u betrachten, also 



r = fu :^ f u setzen. Sucht man also die -wiederholte Funktion f u nach 



I 

 dem Gesetz, welches fu schon ausdrückt, und findet 



fu = A,u + B^u* + C^u' + ... 

 macht dann x = — 1 , so hat man 



7u = A_.u -f B_.u' + C_,u' + ... 



Allein diese Gleichung hat statt, welchen Werth man auch für 11 annimmt, 



— j 

 Man setze also beiderseits fu statt u, so hat man, da f.fu = ti, und fu = r, 



u = A_.r -f B_.r« + C_,x^ + ... 



.ilso ist die vorgegebene Gleichung umgekehrt, a sey der Einheit gleich oder 

 nicht. Die allgemeinen lonneln (J§.2, 3,5.) geben also, wenn man in den- 

 selben x= — 1 setzt, die Formeln für die Umkehrung der Reihen. 



