a E. G. Fischer 



der Unmöglichkeit der Logarithmen negativer Gröfsen sich auf die unter 

 dem Namen Logistik bekannte krumme Linie berufen, die blofs Logarith- 

 men positiver Gröfsen darstelle; die Vertheidiger der entgegengesetzten Mei- 

 nung aber eben der krummen Linie noch einen zweiten Zweig für die Loga- 

 rithmen negativer Gröfse aufzudringen suchen. Dieser Widerspruch liat mich 

 zu der allgemeinen Untersuchung veranlafst: in wiefern man berechtigt sei, 

 über Fragen der allgemeinen Mathematik oder Analysis aus geometrischen Con- 

 structionen zu urtheilen. Ich habe daher mehrere Arten, die Logarithmen 

 geometrisch zu construiren, aufgesucht, und dabei Resultate gefunden, die 

 auf den ersten Blick äufserst widersinnig sclieinen; indem z.B. in gewissen 

 Constructionen die Logarithmen aller positiven und neg.'^tiven Brüche als 

 möglich, dagegen die Logarithmen aller positiven und negativen Zahlen, 

 die gröfser als Eins sind, als unmöglich erscheinen: in einer andern Con- 

 struction erscheinen nicht nur die Logarithmen aller negativen Zahlen, son- 

 dern auch die Logarithmen aller positiven Brüche als unmöglich, und nur 

 die Logarithmen solcher positiven Zahlen, die gröfser als Eins sind, stellen 

 sich als möglich dar, u. d.g. m. Es lassen sicli indessen die meisten dieser 

 Paradoxien vollständig auflösen; aber sie lehren zugleich, wie sehr man 

 gegen Täuschungen auf seiner Hut sein müsse, wenn man allgemeine Fra- 

 gen aus geometrischen Constructionen entscheiden will. 



Um der Uebersicht willen können wir die beiden bekanntesten Con- 

 »tructionen der Logarithmen nicht unerwähnt lassen. 



§. 2. Wenn in einer Logistik FD (Figur i.) B derjenige Punkt ist, 

 wo die Tangente mit der Ordinate A B einen Winkel von 45° macht, und 

 man setzt A B zzi i , und nimmt ^ für den Anfangspunkt der Abscissen, so 

 stellt jede Abscisse, wie A C oder A £,, den natürlichen Logarithmus der zu- 

 gehörigen Ordinate CD, oder EF vor. Es gehört also hier zu jeder posi- 

 tiven Zahl, sie sei gröfser oder kleiner als i, ein möglicher Logarithmus. 

 Dagegen zeigt sie gar keine Logarithmen negativer Gröfsen: denn die Un- 

 sicherheit der Schlüsse, durch welche Johann BernouUi dieser Curve ei- 

 nen zweiten dem ersten gleichen Zweig aufdringen wollte, hat Euler hin- 

 länglich dargethan, und wiirde sich, wenn es nöthig wäre, auf melirere 

 Arten deutlich machen lassen. 



Ich bemerke hier übrigens, dafs in der Folge, so wie hier, nie von 

 andern, als den natürlichen Logarithmen die Rede sein wird. 



§. 3. W^enn B (Figur 2.) der Sch(ätel einer Hyperbel und A B der 



