über geometr. Constructionen der Logarithmen. 3 



Asjmiptote DJ parallel ist, so heifst bekanntlich A B ZZ C A die Potenz der 

 Hyperbel. Setzt man diese zz 1, und nimmt die Abscissen auf C E, die 

 Ordinalen aber mit D J parallel, so stellt der Flächenraum zwischen A B 

 und irgend einer Ordinate £"/'oder G H den Logarithmus der zugehörigen 

 Abscisse C E oder C G vor. Diese Construction stellt die Logarithmen aller 

 positiven Zahlen, sie mögen gröfser oder kleiner sein als Eins, eben so 

 vollständig und unzweideutig dar, als die Logistik. Aber auch die Loga- 

 rithmen negativer Gröfsen erscheinen hier als möglich, aber wie es scheint, 

 als unendlich. Denn vermöge des Gesetzes der Stätigkeit, das in der gan- 

 zen Mathematik, und besonders in der Geometrie, überall anwendbar sein 

 mufs, gehört zu der negativen Abscisse CK der zwischen AB und KL ent- 

 haltene FUichenraum, d. h. der unendliche Raum B A C D plus dem gleich- 

 falls unendliclien Raum L K C J. Oder soll man den zuletzt genannten 

 Raum in Vcrgleichung mit dem ersten für negativ halten? so würde, wie 

 Johann Bernoulli behauptete, der Logarithmus von CK der Differenz beider 

 Räume gleich, also endlich, und dem Logarithmus einer eben so grofsen 

 positiven Abscisse gleich, aber entgegengesetzt sein. Aber es dürfte sich 

 schwerlich ein völlig entscheidender Grund angeben lassen, den Flächen- 

 raum zwischen den negativen Schenkeln der Asymptoten für negativ zu 

 halten; da überhaupt der Begriff des Positiven und Negativen, auf Flächen 

 angewendet, in dornige Schwierigl^eiten verwickelt. 



Die Quadratur der Hyperbel stellt daher zwar die Logarithmen ne- 

 gativer Gröfsen dnr, aber doch mit einer sehr wesentlichen Zweideutigkeit, 

 die wir in der folgenden Construction wiederfinden werden. 



Ich komme nunmehr zu zwei andern geometrischen Construc- 

 tionen, zu welchen ich durch die obigen Betraclitungen veranlafst wor- 

 den bin. 



§. 4. Aufgabe. Eine Gleichung zu finden für eine Curve, deren 

 Bogen die Logarithmen der zugehörigen Abscissen sind. 



Auflösung. Der Bogen der Curve heifse ß, die zugehörige Ab- 

 »cisse X, die Ordinate y. Die Aufgabe fordert, dafs ß zz Log. x; also 



d ß ZZ — sei. Da für jede Curve (//3 :^ V (^ x' -f d y-), so erhalten wir 



für unsem Fall 



und hieraus folgende Differentialgleichung für die gesuchte Curve 



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