6 E. G. Fischer 



an, so lange x nicht gröfsor als Eins ist: denn alsdann ist — > dx, also 



d X 

 auch dß> dx. Wird aber x > i, so ist — < dx, oder d iS <dx, wel- 



' X 



ches in einer solchen Construction unmöglich ist. Soll also der Logarith- 

 mus in der Gestalt eines Bogens dargestellt werden, so wird für a: > i sein 

 Differeniial , folglich der Bogen selbst unmöglich. 



§. g. Eine zweite Paradoxie ist, dafs zu jeder Abscisse CK, zwei 

 gleiche, aber entgegengesetzte Bogen A L und A M gehören; also, wie es 

 scheint, zu jeder Zahl, zwei gleiche, aber entgegengesetzte Logarithmen. 

 Auch dieses Räthsel löst sich auf, wenn man auf die Entstehung der Glei- 

 chung für unsere Curve zurückgeht. Wir haben nemlich selbst stillschwei- 

 gend die Bedingung solcher doppelten Logarithmen hineingetragen. 



Wir fingen damit an, dafs wir annahmen, es sollte /3:z:Log. x sein. 

 Hätten wir gesetzt ß z^. — Log. x, so wäre keine andere Gleichung gefunden 

 worden. Unsere Voraussetzung war also eigentlich /? rr +: Log. x, und dieser 

 Voraussetzung gemäfs mufste die Curve ausfallen, ohne difs wir dadurch be- 

 rechtigt werden, jeder Zahl entgegengesetzte Logarithmen, in einem unrd 

 demselben System beizitlegen. 



Ä. 10. Eine dritte Paradoxie endlich betrifft die Logarithmen negativer 

 Gröfsen die hier als reell, obgleich wie bei den Hyperbeln als unendlich er- 

 scheinen. Denn da der Anfangspunkt der Bogen in A ist, so gehört zu 

 der ne<'ativen Abscisse C P, der ganze erste und unendliche Zweig A F, 

 nebst dem unendlichen Stück H Q^ des zweiten Zweiges, als Bogen, oder 



auch AG -{- JR- 



Aber es zeigt sich hier dieselbe Zweideutigkeit, als bei der Hyper- 

 bel indem man die Frage aufwerfen kann, ob der zweite Zweig der Curve 

 vielleicht als negativ anzusehen sei? wozu ich indessen in der Construc- 

 tion gar keinen hinreichenden Ginind finde. /* 



§. II. Aufgabe. Eine Gleichung zu finden für eine Curve, deren 

 AbsciSjSen die Logarithmen der zugehörigen Bogen sind. 



Auflösung. Der Bogen heifse hier wieder ß, Abscisse und Ordi- 

 nate x undj'; so soll ^ - 

 X — Log. /9; d. i. /? =z e« ' ' ' ^^'^ 



sein, wenne, wie gewöhnlich, die Basis des natürlichen Logarithmensystem« 

 ist. Daraus folgt, d ß ■=. e' d x; also 



V(rfx2 -f ely'') — e' dx 

 und d y -n d X V(e*' — i). 



