über geometr. Constructionen der Logarithmen. 7 



Um diese Gleichung zu integriren, setze man e' zz See z, also 

 X ~ Log. See z, so wird d x zz. Tang z . dz; und 

 V(c»«_- ,) — l/(Secz» — O = Tangz. 



daher dy ~ Tann z^. dz — ^i; r</z, oder d y zz. dz. 



^ ° Cosz* ' ^ Los z' 



Folg lieh 



I^) y ZZ. Tang z — z. 

 Da aber Tangz — V(Secz* — i) — V(e" — i), und z = Are. See «'. 

 so erhält man 



B) yzz V(e'"— i) — Are. See e' 

 oder au eh 



C) y zr. V(Num. Log 2 x — 1) — Are. See. (Num. Log x), 



welches in allen drei mit A, B , C bezeichneten Formen die verlangte Glei- 

 chung ist. 



§. 12. Den Anfangspunkt der Abscissen nehme man da, wo yzzo 

 ist, so wild auch die hinzuzufügende Constante z: o. Unter dieser Voraus- 

 setzung durchschneidet die Curve die Abscissenlinie im Anfangspunkt der 

 Abscissen. Für ein unendliches x wird auch y unendlich. Für jedes nega- 

 tive X ist y unmöglich, weil e~^' kleiner als Eins, also e~'^' — i nega- 

 tiv ist. 



Die Curve läuft also vom Anfangspunkt der Abscissen an gegen die 

 positive Seile in einem unendlichen Zweige aus. Sie hat aber unter der 

 Abscissenlinie einen zweiten, dem ersten völlig gleichen Zweig. Denn in 

 X = Log. ^^c z wird nichts geändert, man mag z positiv oder negativ neh- 

 men. Ist aber, z negativ, so verwandelt sich die Gleichung (A) 

 y = Tang, z — z 

 in 3' := — Tang, z -j- z 

 welches dem vorigen gleich, aber entgegengesetzt ist. 



§. j3. Zur Berechnung einer Tabelle für die Construction ist es am 

 bequemsten, z willkührlich anzunehmen, und daraus y (durch die Glei- 

 chung y = Tang, z — z), und x (durch die Formel x = Log. See. z) zu 

 bestimmen; wobei wir noch anmerken, dai's bei dieser Methode, aufser der 

 leichten Rechnung, noch der Vortheil erreicht wird, zu jedem x undy auch 

 den zugehörigen Bogen ß durch die Formel ß =: e', und e" = See. z un- 

 mittelbar aus den trigonometrischen Tafeln finden zu können. Den ganzen 

 Erfolg der Rechnung zeigt nachstehende kleine Tafel. 



