Behandlung einiger Aufgaben bei trigonometr. Messungen. 1 7 

 subtrahirt man von dieser Reihe lg cosc}), so erhält man: 



a* — 29' 2* — 2 qi* 2° — 2 2<p' 2' — 2 179* 



lg tangg, =lgg,+-_- + ---_+-^_^-^ + -^_ 3-33;^,+u.s.W, 



Die Differenziation dieser beiden Reihen giebt noch : 

 cot . cp . und 2 cosec. 2 9, also leicht cosec. <p. 



Ich hätte mich begnügen können, die ersten Glieder der Reihe für 

 den Logarithmen des Cosinus eines Bogens nachzuweisen und anzuführen, 

 icli habe aber, da es so kurz geschehen konnte, den nahen Zusammen- 

 hang anderer Reihen mit derjenigen, nach welcher die Tangente eines Win- 

 kels durch den Bogen ausgedrückt wird, zeigen wollen. Das Gesetz der 

 Coeffizienten dieser letztern bleibt in jenen immer sichtlich. 



Wenn der Bogen cp klein genug ist, um die Gröfsen, die von dessen 

 vierter und höhern Potenzen abhängen, vernachlässigen zu dürfen, so ist also: 



lü (cos - . cos -....) = :; = — 4 — 



° ^ 2 4 2^—1 2 "2 



In dem Falle aber ist auch — | — = - — ;; — , folglich auch für gewöhnliclie 

 Logarithmen: 



, lg COStf) 



lg sin 9= lg 9" + Igarc i" — (lo — ) 



lg tan 9 = Igcp" =: lg- arc i" — (10 -ff lg coscp) 

 Formeln, die auch umgekehrt, einen gleich leichten Gebrauch haben. Diese 

 besondere Vorschrift für Logarithmen der Sinusse und Tangenten kleiner 

 Winkel findet sich ohne Beweis in der Vorrede zu den grofsen Taylorschen 

 Tafeln. 



In jedem Falle aber hat man die genaue Gleichung: 



lg sine/) = lg 9 + lg cos| + lg cos ^ -f . . . + lg cos - -}- | lg cos -. 

 lg lang cp = Igcp — lg cos 9 + lg cos | + . . -f lg cos ^ + T 'S cos -. 



wenn nemlicli — klein iienui", dafs in der Rechnung -- keine Dezimal- 



stellen mehr hineinbringt die man mitzunehmen Willens wäre. Beim Ge- 

 brauch der Logarithmen mit 7 Dezimalen kann man setzen: 



lg sin 3° = lg 10800 + lg. sin 1" — | (10 — lg cos 3°) 

 und in Tafeln mit zehn Dezimalen : 



lg sin 0° 3o' = lg x8oo + lg sin i" — |^ Ar Compl. cos. 0° 3o', 

 ohne um eine Einheit in der letzten Dezimalstelle zu irren. 



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