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übergangen werden durfte, weil es liier doch ^Yicdcr vorkommen mufste, 

 lind so l)nld man von der liestiiumfen Bedeutung der Regelzeicben bis auf 

 ihren gemeiiiscltaftliclien Charakter abstraliirt, das besondere Resultat für 

 Differenz und Iniegraloperniionen wieder ein aligemeines ist. 



Wenn gleich die Grundsätze hier neu sind, so sind die Resultate 

 als analytisclie Formeln bciracliiet, fast alle bei;annt, denn dieser TJieil der 

 transcendenten Mathematik ist so vielfältig bearbeitet worden, dafs der 

 Aufmerksamkeit der Analysten wenig entgangeil ist. Indessen glaube ich 

 meine Summenformel neu, und sie hat gerade das einfachste Gesetz der 

 KoelTizientcii , iiemlich diejenigen weiclie der Cosekante eines Winkels ge- 

 hören. Bisher, glaubeich, kannte man kein einfaclieres als das Fortschrei- 

 tungsgesetz der Cotangente eines Winkels. Die ohne die allgemeine 

 Theorie bewerkstelligte allgemeine Summation der Potestiiten gehört zu 

 jener Anordnung, aus welcher ich letztere leicht ableite. Die Koeffizienten 

 an sich für die Summationsreihe, oder die Bernoullisclien Zahlen, sind 

 bisher nur aus Relationsgleichungen auf mancherlei Weise gefunden. La- 

 place liat eine allgemeine Formel für dieselbe zuerst gegeben, allein si(! 

 legt den Charakter dieser Zahlen nicht dar. Ein sehr kurzer Ausdruck, 

 den ich für diese Zahlen linde, scheint mir der allgemeinste zu scyn dessen 

 sie fähig sind. Von den Koeffizienten für die wiederholten Summationen 

 zeige ich auf einem sehr Icurzen Wege das allgemeine Gesetz. 



Untersuchungen von Lagrange über die den Zweck dieser Abhandlung 

 ähnlichen Gegenstände, belinden .sich bekanntlich in den Abhandlungen 

 der Berliner Akademie, worauf ich die Leser verweise, die beurtheilen 

 wollen, was diese Eigenthümliches haben möchten. Ich mufs aber noch 

 hinzusetzen, dafs Arbogast schon den Gedanken gehabt liat, die Opera- 

 tio.iszeichen von den Funktionen zu trennen, welclies er scfiaraiion des echellcs 

 nennt, und so ist diese Trennung nur scheinbar, der Ausdruck selbst des- 

 sen er sich bedient, zeigt, dünkt mir, schon an, dafs hier die Sache nicht 

 aufs Reine war, und mit meiner Behandlung nicht dieselbe isi. - 



1. Es scy M irgend eine willlaihrlich anzunehmende Gröfse oder 

 Funktion, unter /".u werde eine nach einer bestimmten Regel aus« entsi)rin- 

 gende Gröfse, eine Gattung Funktion von u oder einer der in ihr enthalte- 

 nen Gröfsenveirstanden. Diese Regel sey aber der Natur, dafs wenn u in 

 mehrere Thefle, gleiche oder verschiedene Funktionen der Gröfse von wel- 



