2IO Trolles 



sü müssen diese mit d'' , d^ etc. bezeichnet werden, und dem zufolye ist 



X =. 1 + n.d -i f- H • • • 



" i.a 1.2.3 



Es bleibt nun übrig zu untersuchen, wie die Operation d an sich be- 

 schaffen seyn oder was sie bedeuten mufs, in der Voraussetzung y u bedeute 



die Substitution von x + Ax statt x in u, wo dann y die von x + nAx statt 

 X ist. Dies zeigt indessen die Formel von selbst an. Denn da 



n n- d^ u 



j^u = u+n.du + + . . 



1.2 



so ist du der Koeffizient von n in der Entwickelung von u, wenn x -f/iAx 

 statt X gesetzt wird. Mithin — der Koeffizient von nAx in eben der Ent- 

 wickelunc; , etc. sind die Koeffizienten von (nAx) , 



°' I.2.AX' ' I.2.3AX' ^ ■' 



(«Ax) u. s. w., wo so wie du aus u eben so d'^u aus du, d^u aus d'u 

 entspringt. 



In dieser Darstellung entstehen die Differenzialien auf eine eigen- 

 thümliche und sehr natürliche Weise, und mit ihnen zugleich der Taylor- 

 sche Satz. 



2^. Für n = \ und dx zr Ax gesetzt, wie allerdings erlaubt ist, indem 

 dx, Ax blofse und von x unabhängige Gröfsen sind, sobald x nicht weiter 

 als Funktion einer andern betrachtet wird, auf welclie die A oder </ Opera- 

 tion sich beziehen könnte, hat man dahei : 



Der zweite Theil aber ist der sehr bekannten Form e , für e gleich 

 der Basis der natürlichen Logarithmen 



Also folgt: 

 oder in blofsen Regelzeichen 



Also folgt: ^u = (i+A)u = e .u , 



y = I -f A = e , folglich : 



A =: / — 1 , A" = (e''— i)", und / = (log. 1 + A)". 

 Entwickelt man den zNveiten Theil der vorletzten Gleichung, so 

 bekömmt man: 



n nd (n_i)rf „.n—I (n — s)«^ 



A — e — n .e ■+■ e — .... 



I. 2 



Der Koeffizient von d im zweiten Theile wird seyn , wenn man sich die 



