über den Algoiitlim. 219 



fiziemcn für irgend eine Funktion gefunden, so hat man sie für jede. 

 B«:deiikt man nun, dafs jene Form für 2 entwickelt, die Gestalt 



d-' J^ A -\- üd -\- C(P -{- Dd^ + 



annelimen niufs, so käme es nur darauf an , in irgend einer Funklion den 

 Koeftizieuten M von d" zu erhalten. 



Setzt man nun für die Funktion, von welcher das 1 zu nehmen, 

 eine gerade Potenz von x , x»" , so hat man den Koefllzienien von x oder 

 den von r/=" — »x'", also von (a«)"'~''' x. 



3o. Wenn man stets voraussetzt, dafs für y statt x, x -f- i »» die 

 Funktion, auf welche sich jenes Zeichen bezieht, substituirt werde , wo 

 also Axzz \, so ist y — * die Setzung von x rr o in jener Fiuiktion, 

 überliaupt auch ist es für sich klar, dafs ^^^ö'' 2 <5~ '^ 

 Also 2— (1 + A)-^ 2 ö - -r zz e* '6- (.' + '^^ 2 ö ~ * 

 In der tntwickelung wird der Koeffizient von x'" gleich 

 (Ig. I + A'" 



wofür man auch setzen kann 2 c5 ~ ^' 



I . Li . . . ;?l 



Allein jener Ausdruck ist liier in anderer Rücksicht bequemer, weil 



in der Entwickelung von (lg. 1 +)"' nur A mit positiven Exjjonenten 



vorkömmt, mithin das 2 jedesmal aufgehoben wird. Diesem zufolge 



wäre 2 auf irgend eine Funktion von x in einer nach Potenzen von .r 



fortschreitenden Reihe darzulegen, und 



V ' I ' 1.2 1.2.0. y 



31. Hierin ist der Ivoefilzicnt von x besonders merkwürdig, wenn 



man die 2 Operation auf eine gerade Potenz von x, also x^" bezieht, 



d^«- « , , 



weil alsdann dieser dem Koeffizienten von ; — - — r-; 1 ^Mc ouen oe- 



(2«)^" — 'I » 



merkt, gleich seyn mufs. 



Nun ist aber der Koeffizient von x im letzten Ausdrucke, im Falle 

 man das 2 auf x'" bezieht, gleich log (1 + ^'> 2- o"" > 

 wo n als eine beständige den voigeseizien Operationszeichen nicht unter- 

 worfene ZaJil zu betrachten und Ao — i zu setzen ist, wie oben A x = i. 



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