■ — j genommen -werden; die gesuchte Fläche schreiben wir [u"a:,v"ii;nc| ; 

 so ist, den Werth von a"a und ß"b wieder in den Richtungen 

 von aa und |3b ausgedrückt, 



I. "Wenn a'a und j3'b in gleicher Richtung sind mit aa undßb, 



al' = -^ — — , und p = ; ■ 



ß-ß' ^ a!—a 



IL Wenn a'a in gleicher Richtung mit aa, aber ß'h in umgekehr- 

 ter von Sb, 



ß + ß 0, — a 



III. Wenn a'a in umgekehrter Richtung von aa, aber ß'1> in glei- 

 cher mit ßb, 



„ a'ß + aß' «'ß + «ß' 

 a" = --5; — 5—, und ß' = — — 



IV» Wenn a' a und ß' b in umgekehrter Richtung sind von a a 

 und Ob,, 



ß + ß' "' + a 



\ Wir begnügen uns hier ebenfalls, den Beweis für den ersten dieser 



vier Fälle auseinanderzusetzen, da er für die übrigen auf die nämliche 

 Art geführt vird. Es sei also in Fig. 15. p der in der Ebene ab, d» i. 

 Cum liegende eine Endpunkt einer gegebenen Linie (nc; aa + ßb), und 

 q der in derselben Ebene liegende eine Endpunkt der zweiten gegebenen 

 (nc; a'a-{-ß'b); den andern Endpunkt haben beide Linien gemein; er 

 fällt in n-C in die auf der Ebene Cmn senkrechte Dimension c. So ist 

 einleuchtend, dafs die Linie pq der gesuchten Ebene angehört, und daf» 

 fiir sie auTserhalb der Ebene Cntn der Punkt n.c als der dritte bestimmt 

 ist. Wird also die Linie -pq verlängert, bis sie die Dimensionen a und b 

 in m und n schneidet, so geben die Werthe C/« und Cn nebst n.c den 

 Ausdruck der gesuchten Fläche in den Grunddiraensionen a, b und c. Es 

 sei also wieder pg und qf senkrecht auf Ca, so wie pe und qd senkrecht 

 auf et, ferner Cgi=pe=«.a,Ge=pg=ß.b,Cf=^d=a'.a,Cd=cLf=ß'.b, 



Cm=a".a,Cn = ß".b 

 so. £sk. Cn : pg = Cm : gm = Gm: Cm — Cg, d.,i.. 



