174 W e i f s 



"Wir geben . beiden Ausdrücken die Form | ..a./;b : nT ] für die Fläclie, 

 .und (nc; aa + ß'b) für die Zonenaxe, d. i. -wir geben beiden gleiche 

 Werthe in derjenigen der drei Dimensionen, in welche wir zugleich den 

 einen Endpunkt der Zonenaxe legen, z, B. in c; so fällt, vrenn «, ß, a, ß', 

 n zuförderst lauter endliche Gröfsen sind, die bezeichnete Fläche in die 

 bezeichnete Zone, wenn eine der folgenden Proportionen richtig ist 

 ß_ß' ,a-a\ 



jj.ß_. jj'. \ß' — ß =r )a+a'(:ß', woraus die Gleichungen 



(ß + ß' (a'-a) 



für jede beliebige der Gröfsen a, a', ß, ß' in doppelter Gestalt sich ergeben. 

 Im Gcentheil, wenn keine der drei Proportionen richtig ist, so gehört 

 die bezeichnete Fläche nicht in die bezeichnete Zone. 



Es sei in Fig. 16. wiederum C der Mittelpunkt der Construction, 

 Ca die Dimension a, Cb die Dimension b, und njii die Linie, welche 

 in der Ebene ab der bezeichneten Fläche |«a;^.b! i77] zukommt, so dafs 

 C7/i = a.a, Cn = |5.b, während der dritte gegebene Punkt n.c in der 

 auf der Ebene ab senkrechten jjurch C gehenden Linie liegt. Durch den 

 nämlichen Punkt n.c aufserhalb der .Zeichnung gehe die bezeichnete Zo- 

 nenaxe (nc; a'a + ß'b), so ist klar, dafs diese leiztere Linie nur dann 

 der bezeichneten Fläche parallel geht, wenn der in der Ebene ab ihr zu- 

 t^ehörige zweite Endpunkt in die Linie mn oder ihre Verlängerung nach 

 q oder r hin fällt. Fällt er dagegen in irgend einen Punkt der Ebene a 6 

 aufserhalb der Linie mn und ihrer Verlängerung, so ist klar, dafs die Li- 

 nie (nc; a'a-f-ß'b) die Fläche [«äjTbTnTl schneidet, statt ihr parallel zu gehen, 

 und mithin die bezeichnete Fläche aufserhalb der bezeichneten 2one liegt. 



Der Fall, wenn der zweite Endpunkt der Zonenaxe in die Linie 

 mn oder ihre Verlängerung fällt, hat also drei ünterverschiedenheiten: 



i) Er fällt zwischen 7/1 und n nach p (Fig. 16.), so ist also, 

 wenn vs und pe die Perpendikel sind auf Ca und Cb, 

 pe = Cg=i= a'.a, pg=Ce:=ß'.b 

 Cm:^a.a, Cn = ß.b 

 Nunist Cm:Cn=mg:gp = pe^en, d.i. 



a.a:ß.b = (a— a')a:ß''.b = a'.a:(/3— ß')b, oder 



a: ß = a — a' : ß'= a : ß — ß» 'wie in der ersten der obigen Pro- 



