2 Eytelwein's 



für die DilFerenzkoeffizienten, nach der angeführten Abhandlung, angenom- 

 men vvorden ist , der nte dieser Koeffizienten oder 



_ "D . X—' "-D. . X"-* "-'D3 . X"-» ^ 'D„_, . X _ X 



l^"^^" ~(x— 1)"~ (x-i)»- + (x-ir~ ■■'" (x-x)'"**7^ 

 oder auch. 



(I)[n](x.i)".E„="D.x"--"-D..x"-'(x-i)-f»-'D..x'«-(x.i)'...±'D„.,.x(x.i)"-+(x-i)"^' 



■wo die obern Zeichen für ein grades^ die untern aber für ein ungrades n 

 gtlten. Hiernach wird man berechtigt 



(II) [n](x-.i)".E„ = |'K + »K,.x + ''K,.x' + "K8.x'+.... + "K„_..x."-' 



zu setzen. 



Es kommt nun darauf an,^ die Koeffizienten "K; "K,; "K.;..., 'welche 

 Funktionen von n sind zu ßuden. Für die sieben ersten Werthe von E„ 

 hat Euler im zweiten Theile der DiiFerenzialrecbnung, 7. Kapir, §. 173. 

 die dazu gehörigen Koeffizienten in Zahlen, mittelst einer recurrenten 

 Koeffizientengleichung berechnete Die auf diese Weise gefundenen Werthe 

 sind t 



i.(x— i)E, = ij 

 [£](x— iyE.= i+x 



[33(x— »)^E8 = »+4x + x* 

 [4](x— i)^E, = i + iix-l-iix* + x5 



[5j(x — i/Ej= i-{-26x-f 66x* + 26x' + x« 



[6] (x— !)**£* = i4-57x+302x'4-5o2x3 + 57X* + x' 



[7](x — iy'E^z= 1-J-120X+ 1 191 x' + 24i6x3-|-i 19,1 x'^^ 120 x' + x* 



Aus diesen Zahlenwerthen ,^ deren Gesetz nicht wohl zu übersehen 

 ist^ schliefst Euler auf das allgemeine Gesetz, welches diese Koeffizienten 

 befolgen müssen^ ohne jedoch einen Beweis für die Richtigkeit dieser An- 

 gaben zu- führen. Es schien mir daher von Wichtigkeit, das Gesetz nach 

 •welchem diese Koeffizienten fortschreiten müssen, ganz aligemein zu be- 

 stimmen und solches dadurch aufser allen Zweifel setzen. 



Man entwickle daher in der Gleichung^ (l) die Potenzen von x — i 

 «nä ordne solche nach x, so wird 



