-•± l-(l-fOr-S 



...+ (n-r),r,._3 



•••±(n-i'+i)2(r'-0r-4 

 ...±(ii-r+;)3(i-2),_5 



E Y t e l lü e i n 



+ (n — i)irr-i 



■:j:(n— r+i),(r — iX._3 



:f(n - 1 + 2)3 (r—2X_4 



2'± 



t.(r+l), 

 ± (n — r),r,_i 



+ Cn — r+i),(r— 0,_a 



±Cn — 1 + 2)3(1 — 2)r-3 



(n — 4)ii-3 4i 



(n— 3)r-2 1 





(n — 4)r-3 42 

 (n — 2)j_i 1 



t (n — 4)t-3 4j 



t (n — 5)r-4-5a 



t (n— fl),_i.2i 



t (n-i), .1. 



Ist man nun im Stande, diese Reihen von Binomfalkoeffizienten zu 

 summiren, so läfst sich dadurch ein einfacher Ausdruck für den allgemei- 

 nen Koeffizienten "K^ erhalten. Bezeichnen daher a und b zwei willkühr- 

 liche positive oder negative Zahlen, so kann, wenn m eine positive ganze 

 Zahl- oder o bedeutet, folgender Ausdruck für die Binomialkoefiizienten 

 leicht bewiesen -werden: 



(a+b)„= a^ + a„_,bi+a„_2bj+.... + aib^_i + i.b^ 



Hierin — a statt a und — b statt b gesetzt, so erhält man -wegen (— a)„ 



— +(a + m — i)ro, wenn das obere Zeichen für ein grades, das untere 



fiir ein ungradcs m gilt: 



+ (a + b + m— i)„ = ±(a + m—j)„±(a + m— a)„_,b±(a + m--3)m-2b 



+ (a + m— 3)„_2(b+i)i± 



oder a + 1 mit a vertauscht und nur die obern Zeichen beibehalten , giebt 

 (a+b+m)„ = (a+m)„+(a+m— i)„_,bi + (a+m— 2)„_2(b+i)2+.... 

 .... + (a+2)4(b+m— 3)„_a + (a+i),(b+m— a)„_, + i.(b+m— 1)„ 



Nun setze man r+i — m statt a und n — r statt b, so erhält man die ge- 

 suchte Summation 



(n+ i)m=Cr-t- On-HCn-r) ir„_, +(n— r+i)2(r-i)„_2 +(n-r+2)3 Cr-^)m-3 + • • • 

 .... + (n-r+m-3)„_2(r-m+5)2+(n-r+m-a)„_x(r-m+2)i+(n-r+m-i)„ 



und man findet hieraus: 



n+i = (r+i) + (n-r) 



(n+i)2=(r+l)2 + (n— r)r+(n— r+i)2 



(n+i)3 = (r+i)3 +(n— r)ra + (n— r+l)2 (r— 1)1 + (»»— r+a) ^ 



(n+ 1),_ j = (r+ i),_i + (n-r)r,_j +.... + (n-3)r-a • 3 + (n-2)r-, 

 (n+i-X = (r+i), + (n~r)r,,, + + (n-a),.» . a + (n-i). 



