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Funden werden kann, hat bereits Hindenburg (Archiv der Mathematik 



I. Band, S. 154. u.l) entwickelt. 



§■ 3- 

 _Es ist nun die wichtige Untersuchung anzustellen, unter welchen 



Bedingungen für jeden Kettenbruch 



a 

 S = - , a, 



ai +— , «3 



»3 + 



die nach dem vori£;en §. gefundenen Näherungswerthe, dem Urbruch S im- 

 mer näher kommen; weil sich nur dann die Grenze des Fehlers bei der 

 Anwendung eines Näherungsbruchs angeben läfst. 



Unter der hier durchgängig angenommenen Voraussetzung, dafs die 



Zähler a «i ttj und die Nenner aaja^.,.. der Ergänzungsbrüche 



positive Gröfsen sind, müssen auch wegen §. 2. 



N„ = N„_.a., + N„_, a„ und 

 M„=M„_.a„ + M.,_.a„ [I] 

 also auch sämmtliche Näherungsbrüche positiv sein. Nun wird nach den 

 bereits gefundenen besondern Werthen 

 NM,— N.M=N (a. +Ma.)— Na.M= Na. = + aa, 

 N.M. — N.M.=N.(M a.+M.a.)— (N a.— N.a.)M = - (N M.-N.M)a,=- aa.a. 

 N.Ms— N3M.=N.(M,aä-l-M,a3)— (N.a3-N.a3)M,=-(N.M-N.M.)a3=+aa,a.a, 



u. s, w. oder hieraus : 



N __ N, cta, 



M M,~~ MM. 



N, N, gg.tt . 



M.~M.~~ M.M. 



N. __ N3 cta^a.g, 



mI^Mj"" "*" M.M, 

 N, N, aa.a,co-^ct^ 



'M~m.^~~ MjMt 



N„ _N^ att.g.a,«^ a^r\. 



m7 M.^, ""*" M„M.rt. 



