'von den KeUenbrüc/icn, 



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Durch die vorsiehenden Ausdrüclce erhält man dieUnterscliiede der nuf ein- 

 ander folgenden Näherungsbrüche. Nun sind o a, et, und M M, Mj .... 



positive Gröfsen, also sind die vorstehenden Unterschiede ohne Rücksicht 

 auf das Vorzeichen positiv, weshalb die Unterschiede der auf ein- 

 ander folgenden Näherungsbrüche, abwechselnd positiv und 

 negativ werden, welches anzeigt, dafs diese Näherungsbrüche, abwech- 

 sehid bald gröfser bald kleiner ausfallen. 



Zur Abkürzung setze man die Unterschiede 



= n„ und =:iV„+, 



so wird, ohne Rücksicht auf das Vorzeichen 



- aa.o^a, a„^, 



B,, ^ und 



aa,a.:,a.^ct^ a„+. 



Nun ist ferner der letzte Näheruugsbruch dem Urbruch selbst gleich, 

 weil er den ganzen Kettenbruch erschöpft. Sollen daher die Unterschiede 

 der auf einander folgenden Näherungsbrüche immer kleiner werden oder 

 sich dem Urbruch immer mehr nähern, so mufs alsdann ohne Rücksicht 

 auf die Vorzeichen, R„>Rn+, >verden, oder es mufs B„ — B„j., eine positive 

 Gröfse sein. 



We.l nun R„-R,„.= — (^ ^„M^,, ) 



ist 



und nach [I] M,,^.. = M„ a,,^^ +M„i.,a„a^ wird, 

 so findet man hiernach: 



_ aa.K, tL„^r 



Dieser Ausdruck ist offenbar eine positive Gröfse, daher wird jeder fol- 

 gende Näherungsbruch dem Urbruche näher kommen als der 

 unmittelbar vorhergehende Näherungsbruch, und weil die Unter- 

 schiede der auf einander folgenden Näherungsbrüche bald positiv bald ne- 

 gativ sind, so müssen solche bald gröfser bald kleiner als der 



Urbruch werden, vorausgesetzt, dafs ao,a,... und aa.a positive 



Gröfsen sind. 



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