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Eytelivein 



Nun ist: 



*k.= ß, ; 3k^=0^ + ß^ ; 4k^ = ß^ + g^ 4. ß^ , 



4k, = ^k,ß3-, ^k, = ^k,ß3 + 3k,ß,-, «k, = ^k,ß3 + =k,ß,+ 4k^ß^. 



''k, = ''k,ß,; 'k3=^k,ß, + ^k,ß«; 'k.3 = *^k3ß5 + sk3ß, + «k,ß,; 



«'k, = «k3ß,; ^k^=«^k3ß, + nc3ß3; ■«k,rr<'k-ß, + n<3ß3 + Sk3ß'; 



■»k.^ok.-ß,; "k.^sk.ßp+'k.ß-; ■■k5 = 'k/^p + ^k-,ß,„+-k,ß..; 



u. s, w. Daher findet man 



-nk.= (r.„_i = ß. + ß2 + ß3 + i34 + •■•• + ß,n-. 



"■"k,= »k, ß3 + ^k, ß, + "»k, ß, +....+ -"-^k^ß.,.., 



»k3= -»k, ß, + ^k3 ß, + '^k.ß, +....+n.-2k^ß_^ 



-k,= <'k3 ß, + ^k3 ß« + «k3ß, + + -^k3ß_, 



"•ks= «k, ß, + 'k, ß- + '°i=4ß.. + +'"-''k40m-r . 



■"k„ =-- 'k.,_.ß,„_. + '"-k„_.ß.„-l-"'k„_ An+.+ . • . • +'°-'k„-.ß„,-. 



Hiernach ist man im Stande die Vergleichang zwischen den Koeilitienten 

 der ccebenen Reihe und den entsprechenden Ergänzungsbrüchen, so weit 



man will, fortzusetzen und daraus die Werthe ßi ßi ßs ß4 also den 



zugehörigen Kettenbruch aus den Xoefllzienten AAj Aj A, . . . . der Reihe 

 zu finden. 



§. «. 

 'Verlangt man umgekehrt aus den gegebenen Gliedern eines Ketlen- 

 bruchs, die demselben entsprechende Reihe, welche nach den Potenzen von 

 X fortschreitet, so' -wird nach-§. 1. für den gegebenen Kettenbruch 



ax' 



S = — . a I X 



M. 



«5 + 



a4 + 



die entsprechende Reilie 



S=Ax^ + AxX'-'" + A,x'+^" + A3x'i-3T-f A,Vt^"+. 



Nun setze man zur Abkürzung: 



ß=T' ßv=— 5 ß3=r7:' ^3-— -' ^^-\ 



a - aai öja^ ^a^s ^%^a 



<r,=ßx; (r,=ß.+ß.; (r3 = 0,+ß2 + ß3; <r4=ßi + ß2+ß3 + ß4; 



(ßx)!=ßßi; (ß^)'•=ßßxß2; (ß3)!=ßßxß^ß3; (ß4)!=/3ßxßaß3/34; ■ 



K) erhält man nach §. 7. 



