Gruson von der Integration w. j. w^ i{5. 



Beweis^ 



Es ist 



d. (y"siiiy) = y^.d.siny + ay"~*.siny.dy 

 = y " . «1 . »in y — n y"~* d .cos y. 

 Ffieraas 



/y''J. sinyj= y" sin y -{- n/y'^'d. cosy. (A) 

 Eben so ist 



d. (y"cosy) = y"d,co8y + ny"~'cosy.dy 

 = y^d.cosy — ny"~* d.siny 

 also- 



/y" d. cos y = y" cos y — n/y"-'d.sin y. (B) 

 Aus (A) und (B) ergeben sich die Integrale , 



/y"~'d.cosy = y"~' cosy — (n — i)y*y"~' d.siny 

 /y"~*d.6iny = y''~*siny4-(n — i)/y"~* d.cosy 

 /y "r *d. cos y = y"~* cosy — (n — 2)/y"-3,d,siny 

 /y"~*d.siny = y''~'8iny4-(n — 2)/y"~3 d.cosy 

 etc. 

 Substituirt man die Werthe von diesen Integralen nach und nach von der 

 Gleichung (A) ausgehend, so gelangt maä zu folgenden Resultaten 

 /y"'d.siny=[y" — n .n — i . y"^* +n.n — i.n — a.n — g.y""*— ,..]siny + 

 [ny"-'_n.n— i.n— 2.y"~^4-n.n— x.n— 2.n— 3.n— 4.y"~*— ...Icosy; 



und von der Gleichung (B) ausgehend, gebfen diese Substitutionen 



7y"d.cosy=[y" T— n .n- — i . y"~* +n.n — i.n — a.n — S.y""* — ...Jcosy— 



[ny"~'— n.n— i.n— 2.y"~'-|-n.n— i.n— 2.n— 3.n— 4..y"~* — ...]siny 



und offenbar ist 



d^.y" d*.y° 



7" — n.n — i.y"-2-|-n.n-i.n-2.n-3.y»-'»-...=y" -^ + — — -.,.=Y 



dy* dy* 



und 



'^•y° d^-y" ^*-y° ^-^ 



ny"--n.n-i.n-2y"-^+n.n.i.n.2,n-5.n-4.y"-5-,..=— T—r-^--T—, — .••=t— 



dy dy* dy* dy 



III. Integration von u"ducosu". 

 Ans den in der Trigonometrie bekannten Gleichungen, welche resp. 

 die graden und ungraden Potenzen vom Cosinus eines Bogens in Funktionen 

 der ersten Potenzen der Cosinus dieser Bogen geben, zieht man für den Fall 

 dafs m eine positive und grade 2Uihl sei 



