n6 Gruson von der Integration 



/u"du cos 11""= — — -J/u"du cos mu+ — /u"du cos(Tn-2)u+ — /u"(la cos(m-4)ii+... 



i" ' (. 1 1.2 



m.m-i. lw\i . , ) i.^.5...(ni-i) 



+ ...2— Vi"dQcos£af+— ^-5 i ^u"+"; 



1.2 -jm-i ) 2.4-6... (do-I-i) 



und, für den Fall wenn m eine positive ungrade Zahl ist, 



/i."du cos u"'^ — ;p3 /'u"du c jsmuH — -/a"du cos(m-2)m — '■ ^/u"d n cos (m-4.) + .... 



c"~' f 1 1.2 



in.m-i Kni+s),. m.m-i ^m:\.•:^^ ) 



^ . ..-- -/u"duco83u-} ...-— — —fu^in cosn^... 



1.2 i{nj+5) 1.2 -iC^-i) ) 



Wenn man in diesen zwei Gleichungen jedes Glied der zweiten Seite mit 



der (n-|- i)len Potenz des Coeffizienlen von z unter dem Cosinus multipli- 



ciit und dividirt , und beachtet, dafs allgemein 



ad ucosau = d,sinau, 



so wird, für den Fall, dafs na eine positive un d grade Zahl ist, kommen, 



(C)/u"ducosu"=;^,|^/(mu)''d.sin(mu)+— ^^^./[(m-2)u]"d.sin[(m-2)u]+... 



+ ....f— !-.-—. /(2n)"d.sin(2u)f +-.-.... u"^'. 



1.2 |m-i 2"^- ^ ^) 2 4. m nii 



und für den Fall wenn m eine positive und ungrade Zahl ist, 



(D)/u"da cos u°^-^ j^/(mu)-d.sin(mu)+— ^— /[(m-2)u]"d.siD[(m-2)u] +.... 



m.m-i -Kra+s) 1 ^. . , . m.m-i f(m+3) . , ) 



+ . . . . — r-/(3u)"d.sin(3u)+ . . . . -/a"d.S]n u \ . 



1.2 K^i3) 5""^' »-2 Kmor ) 



Aber die Werthe von allen Integralgliedern der zweiten Seiten dieser 

 Gleichungen (C) und (D) sind unter endlichen Formen gegeben, wenn man 

 in der Gleichung (A) nach und nach x:^mn, (m — 2)u macht; folg- 

 lich wird man auch die verlangten Integrale unter einer endlichen Form 

 haben. 



IV. Integration von u^dusinu". 

 Aus den in der Trigonometrie bekannten Gleichungen, welche respec- 

 tive die Werthe von den graden und ungraden Potenzen vom Sinus eines ein- 

 fachen Bogen in Funktion der ersten Potenzen trigonometrischer Linien ^e- 

 ben, es sei Sinus oder Cosinus der vielfachen vom einfachen Bogen, zieht 

 man, für den Fall dafs m eine positive und grade Zahl ist. 



