5a Gruson von der IMiebhode 



IV. Aufgabe. Eine logarithmisdie Funktion v.= "lg x zu difTerentiiren 

 Auflösung. Aus v =*Jgx folgt, dafs 

 x = a^ 

 also dx = a^dv Ign a. " 



dx 1 dx 1 j j ,, dx i 



: — . = — . oder d.ngx= — . — 



a^ Jga a x Ign a x Ige 



Hieraus dv = -^. = — • oder d.*lgx= — . — - — ... (14) 



Jen a x Ign a x ign a 



•Wo wie bekannt der Modulus ist. 



Igna 



"Wäre y = Ign x, so hätten wir 



X = e^ 



d.x dx 



folglich dx = e'dv (13) demnach dr = — ;;- oder d.lgnx= — ... (15) 



B. 



V. Aufgabe. Es werden zwei Funktionen y == f x und u==(p> 



verlangt, die so von einander abhangen , dafs 



dy du 



— - = u; und--=— y. 



dx dx 



Auflösung. Die gesuchten Funktionen müssen so beschaffen sein 



dafs die Summe ihrer Quadrate eine constante Gröfse ist, 



a. b. y» + u^ = C. 



a,(y2 + u*) dy . du 



Beweis. Es ist • ; = i2y.- ^au.-— - 



dx dx dx 



dy du 



und da nach den Bedingungen -— -=u und— — = - y, 



dx dx 



d.(y*+u») 



so ist -=2yu — 2uy=f'. 



dx 



Wir sind also berechtiget 



y2_^uS=:r^ zu setzen, wo r^ eine constante Grölse ist. 



Aber die Funktion y^-j-u':^r* entspricht einem Kreis dessen Halbmesser i 



ist, und in welchem y der Sinus und u der Cosinus eines Bogens x ist. 



Folglich haben ^vir y = sin x und u = cos x, 



VI. Aufgabe, Die Winkel -Funktionen y ^ sin x und u = cos x zu 

 diilerentüren. 



