die Differeiibiale der branscendenten FunJitioiien zußnden. 53 



Auflösung, i) Da nach der Bedingung — = u, 



so ist dy = nd.v, 



d. h. d.sinx = cosx.dx. ' , 



du . , ' 



2) Da ferner auch — 1^ — y sein soll, 



dx -^ 



so ist du = — ydx, 



d. h, d.cosx = — sinx.dx. 



Vir. Aufgabe. Die Winkel -Funfetionen sin x und cos x in Reihen,- 

 die nach wachsenden Potenzen von s fortschreiten, zu entwickeln. 



Auflösung. Da aus der bekannten Natur der Funktion sinx folgt, 

 dafs für gleich grofse aber entgegengesetzte Bogen x, sie ebenfalls gleich 

 grofse aber entgegengesetzte Werthe haben mufs, aber für x=o ver- 

 schwindet, und dafs hingegen bei gleich grofsen entgegengesetzten Werr 

 then die Funktion cos x immer gleich cos(— x) mit einerlei Zeichen 

 ist, aber für x = o constant wird, so ist hiermit die Annahme gerechtfer- 

 tigt, dafs 



sinx = AiX-|- AjX^ -\. AjX* -f-. 



j (M) 



und cosx=: Bq -f BjX* + B^x* +, 



Nun ist 



d . sin X 



-^^=A, +5A3x' + 5A,x4+7A,x* + , 



d.cosx 

 und — =2BjX-|-4.B^x3-j-6B<jx5+... 



d 



X 



demnach cosx=Ai +S AgX^ -|-5 A^x* + ...1 



und — fiinx=2B2x-f 4B4X^-f 6BcX^ + ...) ^^^ 



Aus (M) und (N) ergiebt sich 



A.-fsAjX^ + SA^x-'-f ... =B, + B,x2-fB,x'»-f .. 

 und hieraus 



A,=Bo 



A3 =-»21 



A,r=:iB, 

 5 



(P) 



1^ etc. 



