die nach Sinus u. Cosinus vielfach. JVinliel fortschreiben. 145 



wenn im vorhergehenden Ausdruck (x nach einander gleich 1,2,3.... ge- 

 setzt wird, in die Summe der Reihen 



I / cos n z cos ans cos 3 n z \ 



_- { y + y* + -— . y3 +....) 



a" ' \ 1 1 . a 1.2.5 / 



n /cosfn — 2)z . cos2(n — 2)2 , , cos3(n — 2")z \ 



+ ?^ l ; ^+— IX— ^+-7Xi-^ +■•••) 



, n.n — 1 /cosCn— 4.)z . cos2(n — 4)2 , , cos 3 (n— 4)2 \ 



i ;r^( yH y*H 7 y'+----l 



1.2.2" '\1 1.2 1.2.3 / 



+ 



von welchen Reihen nach dem vorigen die Summen bekannt sind. Be» 



C0S2Z cos 3 z 



zeichnet man also die Summe von coszy-f- y*-j y + •.. mit 



1-2 . 1.2.5 



, cos^sz , , cos»3z 

 iz, so ist die Summe von cos"z.yH -y T y +.... 



1.2 1.2. 



a 



-^rfnz + nf(n-2)z + "'" ^ ^ f(n — 4)z+--j 

 Man sieht leicht, dafs sich Reihen, deren allgemeines Glied 



y'* 



(A cos " . f;i z -j- B cos ^ . f* z ^ + C cos ^ . fA i .,+) ähnlich summiren lassen, 



1 . 2 . • .u 



wenn a, ß, y . . . ganze positive Zahlen, und das, was für die Cosinusse hier 



nur nachgewiesen, sich von selbst auf die Reihen, wo die Sinus vorkom* 



men, erweitert. 



Diflerenzirt man die Reihen und die gegebenen Werthe ihrer Snm* 



men, so entstehen andere von bekannten Summen. 



yJ y3 



e'"°' ^ cos (y sin z) :=: 1 -)- cosz.y + cos 2 z« h cossz. 1- 



1.2- 1.2.3 



nach y difFerenzirt giebt 



y* 



gT CO. z gys (z + y sin z) = cos z + cos 3 z y + cos 3 a . 1- 



1 . a 



nach z diflerenzirt und mit y dividirt entsteht 



y* 



e'*°'*8in(z + y sin z) = sinz. + sin 2z.y + sin 3 z }- 



i.a 



Wiederholt man die DifFerenziation nach y, so wird 



y* 



e'""cos(az+y8inz) = cosaz + cos3z.y + cos 4 z 1- 



1 . 2 



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