y» 



146 Tr\a 1 1 es vofi Reiheji, 



und nach der nten Diilerenziation hat man 



e''*'**co8(nz-j-ysinz) = cosnz + co8(n4- i)z.y + c6s(n+ i)T.— \- 



1 . 2 



Die Fortsetzung der DifTerenziation nach z führt auf zusammenge- 

 setzte Resultate, deren Theile aber durch die DilTerenziationen nach y sich 

 ergeben^ so dafs es hier überflüssig wird, damit fortzufahren. 



Die nmal nach y •wiederholte Differentiation der Gleichheit 



giebt 



, sin 2 7. „ , sin 37- 

 e^"'* sin (y sin z) =sinz.y -\ y*H y^ 



1 • 2 1 .2 . 3 



y* 



gy eo»;igin (n z + y sin z) = sin n z + sin (n 4- 1 ) '■' • y + *'" (" + 2)2. \- •.• 



1.9 



Aus diesen Reihen ergeben sich von selbst die nach abwechselnden 

 Zeichen fortgehenden und dann diejenigen, in welchen nur die Glieder gra- 

 der oder ungrader Potenzen von y vorkommen. 



Man kann diese Reihen auch gebrauchen als die Entwickelungen der 

 Sinns, Cosinus und Tangenten von nz + ysinz, oder eines jeden binomischen 

 Winkels a + b, wenn man a = n z und y sin z =: b setzt und dadurch mit 

 willkührlichem n, z und y bestimmt. 



Das Integral /e''^'"* cos (y sin z).dy ist gleich e>"'*cos(ysinz — z)-{-C 

 und mit y=o wird es cosz + C. Auf der andern Seite ist die Reihe für 

 die unter dem Integralzeichen befindliche Funktion bekannt; man hat also, 

 wenn auch diese integrirt wird, 



y» y3 



gTcoszgoj (y sin z — z) = cos z + y + cos z . f-cosaz. \- 



i.a 1.2.5 



Integrirt man abermals, so entsteht 



y* y' 



e'"'*co8Cysinzi — -z) =cos 2z 4-cosz.y-| \- co»z f- 



1.2 1.2.3 



und nach nmal wiederholter Integration hat man 



e»«"*' co8(ysinz — nz) oder e''""cos(nz — ysinz) = 



[ ' y^ y^ y 



icoinz-f cos(n— Oz.y-|-cos(a— a)z |-C03(n— 3)z H-'-H 



• 1.2 1.2.3 i...n 



yn4.i yn4-« y^ii 



Ar COSZ ; f- COS 2 Z ; f- COS 3 z . ; f- . . . 



i.2.n+i i.a..n-f-2 i.2..n-|-5 



Diese Formel ist eine schon oben durch DifFerenziation erhaltene, 



wenn nachher n negativ gesetzt wird, und zeigt also, dafs dies erlaubt sei. 



