der Sechsundsechskantner und Dreiunddreikanlner. 221 



C n : Co = f : rr-^ =2« — i:«V3 = i' " ''^ 



Und da Cr = C« X ^ , so ist Cr : Co = 2« — 1 : 2n^ 



folglich Co : Cr : ro = 2n ', 2 n — 1 : 1, oder /-o = 77- . Co. 

 Betrachtet man fernei- die zweierlei Winkel des Zwölfecks, non und ond , 

 so verhält sich für die Hälfte 110 C des einen non, also des an einem s 

 anliegenden 



sin : cos = Ca (Fig. i .) : Co = « : ^—-^ =z 2 n — i : V 3 

 und für die Hälfte onC des an einem a anliegenden ond, 



sin : cos = Ch (Fi", l.): Cn = -^ : — = n V 3 : n — 2 

 Nie können in den Krystallen diese beiden Winkel oder mit andern 

 Worten die beiderlei Radien des Zwölfecks, — und „ ~'' . , d.i. — und 

 2^7:^ einander gleich werden, da n immer einen rationellen Werth be- 

 hält. Angenommen, sie würden gleich, so würde — ^ "^_ ^ , also 

 2n—i=nV3, folglich n{;2 — V 3)= 1, oder n = ^^,^ 



Dagegen kann nicht allein der stumj)fere Winkel von beiden bald 

 der an a^ bald der an s anliegende sein, sondern es können auch die 

 nämlichen Winkel in umgekehrter Lage gegen a und i- sich 

 füi' das Zwölfeck wiederholen. Die allgemeine Formel für diese Um- 

 kehrung findet sich leicht so : Es seien die Werihe n und ju diejenigen, 

 wobei die Umkehrung der Winkel in Beziehung auf ihre Lage gegen a 

 und s Statt findet; so hat man 



2 n — i : V 3 = m V 3 : m — 2, also 



3 m =z 2 n m — m — A n -\- 2, mithin 

 im — 2 ^= (2 m — 4) «, oder 



2 m — 1 = [m — 2) nj also 

 n = "'~ , und umcekehrt m ^ "~ f 1 ) 

 Dies findet, wie man sieht, seine Anwendung atich auf die Sei- 

 tenflächen der sechsundsechskantigen Säulen, die gleichfalls mit densel- 



( I ) Dieselbe Gleichung erhält man, wenn man davon ausgeht, dafs bei den zwei Wer- 

 then n und m (für n) das Verhältnifs der zweierlei Radien des Zwölfecks, Cn und Co sich 

 umkehrt; also 



2re — l:nV/3 = mi/3:2TO — 1; folglich 



i n m = k 11 m — 2 ni — 2 « -J- 1 , oder 



n ni — 2 m = 2 n — 1, d. i. 



m [n — 2) = 2 7j — 1, u. s. f. 



