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unmittelbar abgeleitet werden (!); drei andere sind die nemlichen Pro- 
portionen, nur das dritte gleichartige Element, sei es Seite des Dreiecks 
oder theilende Linie, einem der beiden ersten substituirt. Von den vier 
übrigen Proportionen sind wiederum zwei ähnliche Gegenstücke zu ein- 
ander mit Austausch analog liegender Theile als gegebener; drei aber sind, 
wesentlich verschieden unter sich und von den ersten sechs, Folgen der 
Erweiterung des Lehrsatzes. Ueberhaupt also sind von den zu gebenden 
je zehn Proportionen sechs wesentlich verschiedener Construction, vier 
aber als Wiederholungen von vieren der sechs anzusehen. 
Die Art wie wir aus den ersten, durch die geometrische Demon- 
stration unmittelbar erhaltenen Proportionen, die übrigen finden, bedarf 
keiner ausführlichen Erörterung. Wir suchen z.B. die Theilung einer 
innern Linie, wenn uns die der beiden andern innern Linien gegeben 
ist. So giebt uns der frühere Lehrsatz unmittelbar (?) 
o:p=uf-+v(e+f):ue. 
(*) Alle Proportionen nemlich, wie sie in dem früher vorgetragenen Lehrsatz direet 
begründet waren, wo wir y und x nannten, was jetzt e und f, n und m, was jetzt 
o und p, und » und », was jetzt v und » genannt ist, waren vollständig diese: 
na: m(a+b): na + m(a+b) 
zıy:c+y= mit — aw : bv 
np —mw: m (v+w) : vo (n-+m) 
ve: w(z+y) vr + w(a+y) 
a:bza+b= mn uny 
nv—mw : w (nm) : n(v-+w) 
z(a+b):ya:ya+x(a+b) 
nımınt-m= Inter sob—wa :b(vo+w) 
verw(ery):ey : (+w)(c+y) 
a(c+y):be:be-+a(x-+y) 
v;swivtv= Imean ıny—mz :y (n-+m) 
na+m(a+b):nb : (n+m)(a-+b) 
Je drei solche sind es, welche sich in der nunmehrigen, verallgemeinerten Aufstel- 
lung, unter veränderten Buchstaben, wiederfinden ; sie beruhen auf folgenden vier Grund- 
gleichungen: I. ya=mxz(a-+b); 1. vBpe=wa(s-+y); II. von=w (an+-am-- bm) ; 
oder w (a+b) (n+m)=bn(o+w); IV. nyy=m (av + zw-+-yw); oder m (c+y)(v-+w)= 
yv (n+-m). 
(?) Es ist dies die Uebersetzung der Formel n:m = va + w (a-+y): vy, wie sie in 
der vorigen Note hiefs, in die gegenwärtige Bezeichnung. 
